somma di polinomi

[ficus2002]

Dimostrare che
$ -(a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(a_1+a_2)^2+(a_1+a_3)^2+(a_2+a_3)^2 $$ -(a_1+a_2+a_3)^2=0 $

e, più in generale, che per ogni $ m>n $ è
$ -\sum_{i=1}^{m}a_i^n+\sum_{i,j}(a_i + a_j)^n+\cdots +(-1)^m (a_1 + \cdots + a_m)^n=0 $

EDIT: corrette le osservazioni di frengo.

[frengo]

allora:

Dimostrare che
$ -(a_1^2+a_2^2)+(a_1+a_2)^2+(a_1+a_3)^2+(a_2+a_3)^2 $$ -(a_1+a_2+a_3)^2=0 $

non credi che sia

$ -(a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(a_1+a_2)^2+(a_1+a_3)^2+(a_2+a_3)^2 $$ -(a_1+a_2+a_3)^2=0 $

e, più in generale, che per ogni $ m>n $ è
$ -\sum_{i=1}^{m}a_i^2+\sum_{i,j}(a_i + a_j)^2+\cdots +(-1)^m (a_1 + \cdots + a_m)^2=0 $

e qui dove compare n?mi espliciteresti un pò di più la sommatoria che non capisco?

ciao ciao

[ficus2002]

si, scusa, hai ragione; ho corretto gli errori; grazie.

[ficus2002]

Esplicito la sommatoria per alcuni valori di $ m $:

$ m=3 $

$ -a_1^n-a_2^n-a_3^n+(a_1+a_2)^n+(a_1+a_3)^n+(a_2+a_3)^n+ $
$ -(a_1+a_2+a_3)^n=0 $

$ m=4 $

$ -a_1^n-a_2^n-a_3^n-a_4^n+(a_1+a_2)^n+(a_1+a_3)^n+(a_1+a_4)^n+ $
$ +(a_2+a_3)^n+(a_2+a_4)^n+(a_3+a_4)^n-(a_1+a_2+a_3)^n+ $
$ -(a_1+a_2+a_4)^n-(a_1+a_3+a_4)^n-(a_2+a_3+a_4)^n+ $
$ +(a_1+a_2+a_3+a_4)^n=0 $

Suggerimento: induzione su $ n $.