Una disuguaglianza

[Br1]

Una disuguaglianza non è matematica ricreativa ... è algebra - EG

Finora mi sono limitato a seguirvi senza partecipare e desidero farvi i miei
complimenti per i vostri interventi, che trovo spesso molto interessanti.
Vorrei poi proporvi questa disuguaglianza, che sicuramente sarà per voi
uno scherzo:

$ (\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+1 \ge (n+1)^{\frac{1}{n}} $

per ogni $ \,n\, $ intero e positivo.


Un saluto a tutti

[desko]

Mi sfugge una cosa:
dobbiamo trovare per quali valori di n vale la disequazione (ovvero trattare n come incognita)?
o dobbiamo risolvere la disequazione per qualunque valore di n intero positivo?

A favore della prima ipotesi depone il fatto che n sia intero e non reale (come avviene di solito), oltre alla frase finale "per ogni n intero positivo";
a favore della second ipotesi depone l'assenza di altre ipotetiche incognite rispetto alle quali risolvere la disequazione.

Oppure non ho capito veramente nulla.

[Br1]

Ciao, Desko, e grazie del tuo intervento

Il problema consisterebbe nel dimostrare che questa disuguaglianza è vera per
ogni n intero e positivo.

(Bruno)

[desko]

Così, ad occhio, mi vien da dire che per n=1 vale l'uguaglianza, per n superiori entrambi i membri sono monotoni decrescenti, tendenti a 1, ma il termine di destra decresce più velocemente, avendo n all'esponente.

[Br1]

...e questa tua considerazione è fondata, Desko

Volendo darne una dimostrazione formale, però, è possibile dire
qualcosa di più?

Intanto (naturalmente) grazie!

[EvaristeG]

Br1, benvenuto tra gli utenti attivi del forum ... ti prego di consultare nelle sezioni per i nuovi utenti le regole del forum, le risposte ad alcune delle domande più frequenti sul forum e sulle olimpiadi e la spiegazione di come si utilizzano le varie sezioni (non ho voglia di cercare i link e quindi te le dico così ... ).

Buona Navigazione

EG

[Leandro]

Si ha:
$ n \geq 1 $
$ n+1 \geq 2 $
$ 1\geq \frac{2}{n+1} $
$ \frac{2}{n+1}\geq (\frac{2}{n+1})^2 $
$ (\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}\geq \frac{2}{n+1} $
$ (\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+\frac{n-1}{n+1}\geq \frac{2}{n+1}+\frac{n-1}{n+1}=1 $
$ n{[(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+\frac{n-1}{n+1}}]\geq n $
(A) $ 1+n{[(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+\frac{n-1}{n+1}}]\geq 1+n $
Ora,per Newton, e':
$ {[1+(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}]^n=1+n(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+\frac{n(n-1)}{2}\frac{2}{n+1}+termininonnegativi $
da cui:
$ {[1+(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}]^n \geq 1+n(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+\frac{n(n-1)}{2}\frac{2}{n+1} $$ =1+n[(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+\frac{(n-1)}{n+1}] $
Ovvero per la (A):
$ {[1+(\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}]^n \geq 1+n $
oppure:
$ (\frac{2}{n+1})^{\frac{1}{2}}+1 \geq (n+1)^{\frac{1}{n}} $
Perdonate le lungaggini!!
Leandro

[Br1]

(...) ti prego di consultare nelle sezioni per i nuovi utenti le regole del forum, le risposte ad alcune delle domande più frequenti sul forum e sulle olimpiadi e la spiegazione di come si utilizzano le varie sezioni.

Grazie, EvaristeG, lo farò al più presto

Per Leandro:
Non scusarti per aver fatto tutti i passaggi, anzi: credo che
sia sempre bene spiegare chiaramente cosa si sta facendo.
Eppoi... mi piace proprio la tua dimostrazione!