probabilità di nascere insieme
probabilità di nascere insieme
su 1 libro ho letto che in 1 gruppo di 23 persone è + probabile che 2 persone nascono lo setsso giorno piuttosto che non capiti... argomentava così: considerando tutte le coppie possibili - che sono le combinazioni di 23 a 2 che sono 253 - la probabilità è 253/365=70%circa. Secondo me il ragionamento è questo. Calcoliamo la probabilità che non ci sia nessuna coppia che nasca contemporaneamente: la prima persona non importa quando nasce; la seconda persona non deve nascere lo stesso giorno della prima persona ( probabilità= 364/365); la terza persona non deve nascere lo stesso giorno dei primi 2 ( probabilità=363/365), e così via...si arriva fino alla ventireesima (342/365). Moltiplicando il tutto viene circa il 49%: quindi la probabilità che 2 persone nascono contemporaneamente è circa il 61% non il 70%. Perchè?
ehm...sinceramente il libro ha detto solo che le coppie sono 253. Dopodichè ha detto che la probabilità >1/2 ma avendo dato solo 2 numeri (253, 365) ho pensato che lui intendesse che la probabilità fosse data dal rapporto tra questi 2 numeri ( altrimenti non avrei saputo cosa farci con questo 253): mica qualcuno sa invece cosa intendeva il libro? - magari intendeva qualcosa di diverso...
Comunque siete tutti sicuri che il mio ragionamento sia giusto?
Comunque siete tutti sicuri che il mio ragionamento sia giusto?
Sicurissimi, è il classico ragionamento che si fa in questi casi. Credo che lo usino agli stage junor (almeno a quello che ho fatto io l'hanno fatto) perchè in una ventina di persone la probabilità che si verifichi il fatto è abb. alta e di solito funziona (però controllano prima se ci sono veramente due persone nate nello stesso giorno 
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)"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
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Allora. Enunciamo il problema più chiaramente:
Abbiamo una funzione f che ha per dominio l'insieme delle persona (23) e codominio quello dei giorni (365). Dobbiamo calcolare la probabilità che, "scegliendo a caso la funzione", essa (non) sia iniettiva.
L'insieme delle funzioni da A in B (con cardinalità rispettivamente a e b) è $ b^a $.
L'insieme delle funzioni iniettive da A in B è $ \frac {b!} {(b-a)!} $.
Considerando i vari eventi equiprobabili, la probabilità che f sia iniettiva è quindi $ \frac {b!} {(b-a)! \cdot b^a} $ che poi è uguale a $ \prod_{i=b-a+1}^b \frac {i} {b} $.
In pratica il tuo ragionamento, ho solo provato a scriverlo in modo più rigoroso per essere sicuro di quello che dicevo. Le coppie che calcola il libro, invece, non vedo modo di inserirle.
Abbiamo una funzione f che ha per dominio l'insieme delle persona (23) e codominio quello dei giorni (365). Dobbiamo calcolare la probabilità che, "scegliendo a caso la funzione", essa (non) sia iniettiva.
L'insieme delle funzioni da A in B (con cardinalità rispettivamente a e b) è $ b^a $.
L'insieme delle funzioni iniettive da A in B è $ \frac {b!} {(b-a)!} $.
Considerando i vari eventi equiprobabili, la probabilità che f sia iniettiva è quindi $ \frac {b!} {(b-a)! \cdot b^a} $ che poi è uguale a $ \prod_{i=b-a+1}^b \frac {i} {b} $.
In pratica il tuo ragionamento, ho solo provato a scriverlo in modo più rigoroso per essere sicuro di quello che dicevo. Le coppie che calcola il libro, invece, non vedo modo di inserirle.
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MindFlyer
Senza inclusione-esclusione e probabiltà risulta evidente che, considerandoi giorni possibili 365(quindi non tengo conto del bisestile ecc...) per 366 il piceonhole principle ci assicura che ci sono 2 coppie nate nello stesso giorno. Così come in una classe di 13 persone due nate nello stesso mese 
E' interessante però notare le relazioni che ha questo banale principio con il calcolo delle probabilità.
@edriv
principio di inclusione esclusione o principio di sylvester-poincaré:
$ card(A \cup B )=card(A)+card(B)-card(A \cap B) $
se vuoi la dimostrazione te la posto nell'apposita sezione.
E' interessante però notare le relazioni che ha questo banale principio con il calcolo delle probabilità.
@edriv
principio di inclusione esclusione o principio di sylvester-poincaré:
$ card(A \cup B )=card(A)+card(B)-card(A \cap B) $
se vuoi la dimostrazione te la posto nell'apposita sezione.
Ma, oltre alla dimostrazione di questo principio sarebbe interessante l'applicazione di quel principio al problema posto sopra... cioè, capire come il libro aveva intenzione di concluderla.
(scusate l'ot) nella dimostrazione di sto sylvester-poincaré, che definizione di somma tra numeri naturali si accetta? La cardinalità dell'unione di due insiemi disgiunti? scusate ma mi mancano le basi...
mi sa che è meglio se ci rivediamo in "teoria di base".
(scusate l'ot) nella dimostrazione di sto sylvester-poincaré, che definizione di somma tra numeri naturali si accetta? La cardinalità dell'unione di due insiemi disgiunti? scusate ma mi mancano le basi...
mi sa che è meglio se ci rivediamo in "teoria di base".Beh è una delle prime formule che studi nel calcolo combinatorio... è il fattoriale discendente.
Comunque il ragionamento lo fai sempre per induzione, un po' come hai fatto tu:
se l'insieme A ha a elementi e B ne ha b:
- al primo elemento di A posso associare b elementi
- fissato questo, al secondo posso associare (b-1) elementi
... e così via.
Comunque il ragionamento lo fai sempre per induzione, un po' come hai fatto tu:
se l'insieme A ha a elementi e B ne ha b:
- al primo elemento di A posso associare b elementi
- fissato questo, al secondo posso associare (b-1) elementi
... e così via.