Ciao a tutti,
<BR> da oggi sposetro\' qui la conversazione sulle equazioni funzionali del vecchio forum... Ovviamente copiero\' solo qualche messaggio.
<BR>Camillo
Equazioni funzionali
Moderatore: tutor
16 Novermbre...
<BR>
<BR>È un bel sito, davvero
<BR>Credo sarebbe una buona idea che ci fosse anche una sezione con materiale teorico utile x la risoluzione di problemi. Oltre ai soliti principio di induzione matematica, del
<BR>minimo intero, dei cassetti, di Ceva, etc. personalmente gradirei qlcs sui polinomi e sulle funzioni: soprattutto esempi e vie di risoluzione: cosa vuol dire ad esempio
<BR>trovare tutte le funzioni bla bla... tali che...? Non capisco non solo il metodo, ma anche quello che si chiede davvero.
<BR>Che ne pensate?
<BR>
<BR>Lucio Calcagnile
<BR>Cesenatico 99, 00 e Gaeta 99
<BR>
<BR>1.ah, quanti sono gli utenti registrati?
<BR>2.non riesco a spedire col mio account, pur essendo registrato
<BR>
<BR>
<BR>È un bel sito, davvero
<BR>Credo sarebbe una buona idea che ci fosse anche una sezione con materiale teorico utile x la risoluzione di problemi. Oltre ai soliti principio di induzione matematica, del
<BR>minimo intero, dei cassetti, di Ceva, etc. personalmente gradirei qlcs sui polinomi e sulle funzioni: soprattutto esempi e vie di risoluzione: cosa vuol dire ad esempio
<BR>trovare tutte le funzioni bla bla... tali che...? Non capisco non solo il metodo, ma anche quello che si chiede davvero.
<BR>Che ne pensate?
<BR>
<BR>Lucio Calcagnile
<BR>Cesenatico 99, 00 e Gaeta 99
<BR>
<BR>1.ah, quanti sono gli utenti registrati?
<BR>2.non riesco a spedire col mio account, pur essendo registrato
<BR>
16 novembre...
<BR>
<BR>Hai ragione, Lucio.
<BR>
<BR>Col tempo cerheremo di rendere il sito un posto utile per chi vuole approfondire tecniche di soluzione e di dimostrazione. Comunque penso che le soluzioni di alcuni
<BR>esercizi del giornalino ti possano essere utili per cominciare ad entrare nel mondo dei polinomi e delle equazioni funzionali.
<BR>
<BR>Ora provero\' a rispondere alla tua domanda su cosa significa \"trovare tutte le funzioni tali che...\". Una funzione che va da un insieme A ad un insieme B (per capirci
<BR>sostituisci ad A e B cose tipo i numeri naturali, i numeri reali...) e\' un qualcosa, una legge o una regola (chiamala come vuoi), che associa ad ogni elemento di A uno e un
<BR>solo elemento di B. Negli esercizi delle olimpiadi in genere si richiede di trovare tutte le leggi di tale tipo che soddisfano certe uguaglianze. Facciamo un esempio:
<BR>
<BR>trovare tutte le funzioni f che vanno dai numeri reali ai numeri reali e tali che
<BR>f(a)f(b) = f(a)+f(b)
<BR>per ogni a e b numeri reali.
<BR>
<BR>Il testo ti chiede di trovare tutte le leggi tali che, per ogni coppia di numeri reali a e b, il prodotto dei numeri associati ad a e b sia uguale alla loro somma. Insomma la
<BR>scrittura f(tizio) la devi leggere come \"numero associato al numero tizio\".
<BR>
<BR>Vediamo come puoi risolvere questo esercizio. Intanto supponiamo di avere che c\'e\' una legge f che funziona e vediamo se riusciamo a trarre qualche informazione su
<BR>di essa. Per esempio se l\'identita\' deve essere vera per ogni scelta di a e b allora deve essere vera anche se scegliamo a=1 e b=1. Bene, in tal caso vorra\' dire che se
<BR>chiamiamo x il numero f(1) allora x deve soddisfare l\'identita\'
<BR>
<BR>x^2=2x
<BR>
<BR>Quindi x deve per forza essere o 2 o 0.
<BR>
<BR>Andiamo avanti. Se x=2 allora posso fare cosi\': scegliere b=1 e scegliere al posto di a un numero che per ora non mi va di dichiarare. Lo dichiaro come numero y.
<BR>Inoltre il numero f(y) lo chiamo z.
<BR>
<BR>L\'identita\' mi dice che
<BR>
<BR>z x = z+x
<BR>
<BR>Ma io so che x=2: quindi 2z=z+2. Da cui concludo che z=2. Questa conclusione non dipende dal fatto che avevo scelta un particolare numero y... quindi ne deduco che
<BR>se prendevo y=1, o y=2 o y=3.14 o qualunque altra cosa avrei sempre trovato che il numero a lui associato deve essere 2.
<BR>
<BR>L\'altra possibilita\' e\' che x sia 0. Sempre ragionando come sopra ottieni che in tal caso la funzione f deve associare 0 ad ogni numero reale.
<BR>
<BR>
<BR>Riepiloghiamo allora cosa abbiamo scoperto. Se la funzione f soddisfa la condizione data allora si danno due possibilita\':
<BR>
<BR>a) f associa 0 a 0, e in tal caso associa 0 a tutti i numeri reali;
<BR>
<BR>b) f associa 2 a 0, e in tal caso associa 2 a tutti i numeri reali.
<BR>
<BR>Quindi le f che tu devi trovare possono essere solo le due dette nei punti sopra. Sono solo due e quindi non ti resta che provarle! Facilmente si vede che queste
<BR>funzioni soddisfano la condizione dell\'esercizio. Quindi sono tutte e sole quelle che il problema ti chiedeva di individuare.
<BR>
<BR>
<BR>Beh, ovviamente il problema che ti ho proposto e\' incomparabilmente semplice rispetto a quelli dello stesso tipo che in genere mettiamo sul giornalino... pero\' spero
<BR>che ti abbia aiutato lo stesso a capire cosa chedono gli esercizi sulle funzioni.
<BR>
<BR>Hai ragione, Lucio.
<BR>
<BR>Col tempo cerheremo di rendere il sito un posto utile per chi vuole approfondire tecniche di soluzione e di dimostrazione. Comunque penso che le soluzioni di alcuni
<BR>esercizi del giornalino ti possano essere utili per cominciare ad entrare nel mondo dei polinomi e delle equazioni funzionali.
<BR>
<BR>Ora provero\' a rispondere alla tua domanda su cosa significa \"trovare tutte le funzioni tali che...\". Una funzione che va da un insieme A ad un insieme B (per capirci
<BR>sostituisci ad A e B cose tipo i numeri naturali, i numeri reali...) e\' un qualcosa, una legge o una regola (chiamala come vuoi), che associa ad ogni elemento di A uno e un
<BR>solo elemento di B. Negli esercizi delle olimpiadi in genere si richiede di trovare tutte le leggi di tale tipo che soddisfano certe uguaglianze. Facciamo un esempio:
<BR>
<BR>trovare tutte le funzioni f che vanno dai numeri reali ai numeri reali e tali che
<BR>f(a)f(b) = f(a)+f(b)
<BR>per ogni a e b numeri reali.
<BR>
<BR>Il testo ti chiede di trovare tutte le leggi tali che, per ogni coppia di numeri reali a e b, il prodotto dei numeri associati ad a e b sia uguale alla loro somma. Insomma la
<BR>scrittura f(tizio) la devi leggere come \"numero associato al numero tizio\".
<BR>
<BR>Vediamo come puoi risolvere questo esercizio. Intanto supponiamo di avere che c\'e\' una legge f che funziona e vediamo se riusciamo a trarre qualche informazione su
<BR>di essa. Per esempio se l\'identita\' deve essere vera per ogni scelta di a e b allora deve essere vera anche se scegliamo a=1 e b=1. Bene, in tal caso vorra\' dire che se
<BR>chiamiamo x il numero f(1) allora x deve soddisfare l\'identita\'
<BR>
<BR>x^2=2x
<BR>
<BR>Quindi x deve per forza essere o 2 o 0.
<BR>
<BR>Andiamo avanti. Se x=2 allora posso fare cosi\': scegliere b=1 e scegliere al posto di a un numero che per ora non mi va di dichiarare. Lo dichiaro come numero y.
<BR>Inoltre il numero f(y) lo chiamo z.
<BR>
<BR>L\'identita\' mi dice che
<BR>
<BR>z x = z+x
<BR>
<BR>Ma io so che x=2: quindi 2z=z+2. Da cui concludo che z=2. Questa conclusione non dipende dal fatto che avevo scelta un particolare numero y... quindi ne deduco che
<BR>se prendevo y=1, o y=2 o y=3.14 o qualunque altra cosa avrei sempre trovato che il numero a lui associato deve essere 2.
<BR>
<BR>L\'altra possibilita\' e\' che x sia 0. Sempre ragionando come sopra ottieni che in tal caso la funzione f deve associare 0 ad ogni numero reale.
<BR>
<BR>
<BR>Riepiloghiamo allora cosa abbiamo scoperto. Se la funzione f soddisfa la condizione data allora si danno due possibilita\':
<BR>
<BR>a) f associa 0 a 0, e in tal caso associa 0 a tutti i numeri reali;
<BR>
<BR>b) f associa 2 a 0, e in tal caso associa 2 a tutti i numeri reali.
<BR>
<BR>Quindi le f che tu devi trovare possono essere solo le due dette nei punti sopra. Sono solo due e quindi non ti resta che provarle! Facilmente si vede che queste
<BR>funzioni soddisfano la condizione dell\'esercizio. Quindi sono tutte e sole quelle che il problema ti chiedeva di individuare.
<BR>
<BR>
<BR>Beh, ovviamente il problema che ti ho proposto e\' incomparabilmente semplice rispetto a quelli dello stesso tipo che in genere mettiamo sul giornalino... pero\' spero
<BR>che ti abbia aiutato lo stesso a capire cosa chedono gli esercizi sulle funzioni.
Lucio 7 dicembre...
<BR>
<BR>Grazie Camillo, ti rispondo con mooooolto ritardo, ma... vabbè passiamo al sodo.
<BR>Il procedimento che mi hai descritto è chiaro e + o - l\'avevo già capito seppure in maniera meno rigorosa.
<BR>Cercare esercizi delle olimpiadi degli anni scorse non mi è difficile, ho anche una bella dispensa di Gaeta 99, ma credo mi sarebbe utile una serie di tali esercizi in ordine
<BR>di difficoltà: x cui ti chiedo un favore gigante, e cioè se potresti mandarmi un 3-4 (5) quesiti del genere in ordine di difficoltà; magari anche a <a href="mailto:luciocalcagnile@libero.it" target="_new">luciocalcagnile@libero.it</a>
<BR>se non ti ruba troppo tempo e non ti scoccia. Tschüss
<BR>
<BR>Grazie Camillo, ti rispondo con mooooolto ritardo, ma... vabbè passiamo al sodo.
<BR>Il procedimento che mi hai descritto è chiaro e + o - l\'avevo già capito seppure in maniera meno rigorosa.
<BR>Cercare esercizi delle olimpiadi degli anni scorse non mi è difficile, ho anche una bella dispensa di Gaeta 99, ma credo mi sarebbe utile una serie di tali esercizi in ordine
<BR>di difficoltà: x cui ti chiedo un favore gigante, e cioè se potresti mandarmi un 3-4 (5) quesiti del genere in ordine di difficoltà; magari anche a <a href="mailto:luciocalcagnile@libero.it" target="_new">luciocalcagnile@libero.it</a>
<BR>se non ti ruba troppo tempo e non ti scoccia. Tschüss
27 dicembre
<BR>
<BR>Certo, questo e\' sufficiente a dire che tutte le f del tipo
<BR>f:x --> ax + b
<BR>sono soluzioni. Ecco due indizi su come dimostrare che non ce ne sono altre. Se non vuoi scoprire le cose troppo in fretta e vuoi pensarci ancora puoi leggere il primo
<BR>suggerimento e saltare il secondo
<BR>
<BR>-Se sapessi che f e\' soluzione dell\'equazione e che f(0)=0 e f(1)=0, cosa potresti dire su f?
<BR>
<BR>-Osserva che se f e\' soluzione e g e\' soluzione allora anche la funzione h=f+g e\' una soluzione
<BR>
<BR>
<BR>Certo, questo e\' sufficiente a dire che tutte le f del tipo
<BR>f:x --> ax + b
<BR>sono soluzioni. Ecco due indizi su come dimostrare che non ce ne sono altre. Se non vuoi scoprire le cose troppo in fretta e vuoi pensarci ancora puoi leggere il primo
<BR>suggerimento e saltare il secondo
<BR>
<BR>-Se sapessi che f e\' soluzione dell\'equazione e che f(0)=0 e f(1)=0, cosa potresti dire su f?
<BR>
<BR>-Osserva che se f e\' soluzione e g e\' soluzione allora anche la funzione h=f+g e\' una soluzione
<BR>
Sprmnt21 30 gennaio
<BR>
<BR>2) Se esistono f:Q -->Q che soddisfano i) e ii) bisogna cercarle fra le funzioni che, in qualsiasi \"intervallo\" razionale, non siano ne\' crescenti ne decrescenti ne\'
<BR>costanti (?!). Potrebbero essere delle strane \"punteggiate\" che si addensano proprio sotto la bisettrice del I e III quadrante.
<BR>Per me il problema, a questo punto, diventa: esistono funzioni (se si puo\' ancora chiamarle cosi) che siano tanto \"perverse\"?
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR>Sprmnt21
<BR>
<BR>
<BR>2) Se esistono f:Q -->Q che soddisfano i) e ii) bisogna cercarle fra le funzioni che, in qualsiasi \"intervallo\" razionale, non siano ne\' crescenti ne decrescenti ne\'
<BR>costanti (?!). Potrebbero essere delle strane \"punteggiate\" che si addensano proprio sotto la bisettrice del I e III quadrante.
<BR>Per me il problema, a questo punto, diventa: esistono funzioni (se si puo\' ancora chiamarle cosi) che siano tanto \"perverse\"?
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR>Sprmnt21
<BR>
30 gennaio
<BR>
<BR>Effettivamente funzioni cosi\' perverse esistono (anzi, io non le chiamerei nemmeno \"perverse\": c\'e\' roba molto molto peggiore): si trovano funzioni da R in R (o da Q
<BR>in Q) che in ogni intervallo non sono ne\' crescenti, ne\' decrescenti ne\' costanti.
<BR>
<BR>Sia il problema che vi ho proposto sia la domanda di Rocco hanno risposte in pieno stile \"olimpico\", senza nessun bisogno di conoscenze avanzate. Quindi lancio il
<BR>
<BR>2bis) Trovare una funzione f: Q-->Q che in ogni intervallo (a,b) non sia ne\' crescente, ne\' decrescente ne\' costante.
<BR>
<BR>Effettivamente funzioni cosi\' perverse esistono (anzi, io non le chiamerei nemmeno \"perverse\": c\'e\' roba molto molto peggiore): si trovano funzioni da R in R (o da Q
<BR>in Q) che in ogni intervallo non sono ne\' crescenti, ne\' decrescenti ne\' costanti.
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<BR>Sia il problema che vi ho proposto sia la domanda di Rocco hanno risposte in pieno stile \"olimpico\", senza nessun bisogno di conoscenze avanzate. Quindi lancio il
<BR>
<BR>2bis) Trovare una funzione f: Q-->Q che in ogni intervallo (a,b) non sia ne\' crescente, ne\' decrescente ne\' costante.
Sprmnt21 1 febbraio
<BR>
<BR>Un modo per avere una funzione che non sia cr. decr. o cost. in alcun intervallo e? quello di ?partizionare? il dominio in due o piu? parti che siano ?mutuamente
<BR>dense? (*) e poi assegnare valori diversi alla funzione per i valori della variabile che appartiene a diverse partizioni.
<BR>
<BR>Ad esempio se il dominio e? Q(int)[0,1] ( cioe? tutti i razionali tra 0 e 1) si puo? pensarlo come unione dell?insieme P formato dai numeri del tipo k/2^n con n in N e
<BR>k=1, 2, ?, 2^n-1 e dall?insieme CP formato da qualsiasi numero razionale di Q(int)[0,1] non del tipo P.
<BR>
<BR>A questo punto f(q) = 1 per q in P e f(q)=0 per q in CP.
<BR>
<BR>Oppure f(q) = q per q in P e f(q)=-q per q in CP.
<BR>
<BR>Oppure per avere una f che soddisfi alla condizione i) del problema 2)
<BR>
<BR>f(q)=q n/(n+1) per q in P e f(q)=0 per q in CP.
<BR>
<BR>
<BR>(*) Per mutuamente dense intendo che per ogni coppia di numeri di un insieme ne posso trovare uno dell?altro insieme che sta fra i due della coppia.
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR>Sprmnt21
<BR>
<BR>PS
<BR>Un po\' di chiacchere in liberta\'. Siate comprensivi.
<BR>Non mi ricordo bene la definizione di insieme denso ( cioe? mi ricordo che di Q si dice che e? denso ma non mi ricordo se si dovrebbe dire che e? denso in R o cose di
<BR>questo tipo) ma mi viene la seguente domanda la densita? puo? essere piu? o meno densa?
<BR>E ancora se divido N nell?insieme dei Pari e dei Dispari, secondo la (*) potrei dire che sono mutuamente densi, ha qualche senso ?sta cosa?
<BR>
<BR>Un modo per avere una funzione che non sia cr. decr. o cost. in alcun intervallo e? quello di ?partizionare? il dominio in due o piu? parti che siano ?mutuamente
<BR>dense? (*) e poi assegnare valori diversi alla funzione per i valori della variabile che appartiene a diverse partizioni.
<BR>
<BR>Ad esempio se il dominio e? Q(int)[0,1] ( cioe? tutti i razionali tra 0 e 1) si puo? pensarlo come unione dell?insieme P formato dai numeri del tipo k/2^n con n in N e
<BR>k=1, 2, ?, 2^n-1 e dall?insieme CP formato da qualsiasi numero razionale di Q(int)[0,1] non del tipo P.
<BR>
<BR>A questo punto f(q) = 1 per q in P e f(q)=0 per q in CP.
<BR>
<BR>Oppure f(q) = q per q in P e f(q)=-q per q in CP.
<BR>
<BR>Oppure per avere una f che soddisfi alla condizione i) del problema 2)
<BR>
<BR>f(q)=q n/(n+1) per q in P e f(q)=0 per q in CP.
<BR>
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<BR>(*) Per mutuamente dense intendo che per ogni coppia di numeri di un insieme ne posso trovare uno dell?altro insieme che sta fra i due della coppia.
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<BR>Ciao
<BR>
<BR>Sprmnt21
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<BR>PS
<BR>Un po\' di chiacchere in liberta\'. Siate comprensivi.
<BR>Non mi ricordo bene la definizione di insieme denso ( cioe? mi ricordo che di Q si dice che e? denso ma non mi ricordo se si dovrebbe dire che e? denso in R o cose di
<BR>questo tipo) ma mi viene la seguente domanda la densita? puo? essere piu? o meno densa?
<BR>E ancora se divido N nell?insieme dei Pari e dei Dispari, secondo la (*) potrei dire che sono mutuamente densi, ha qualche senso ?sta cosa?
SOLUZIONE DELLA (DIS)EQ. FUNZIONALE 2
<BR>
<BR>Prendiamo un q razionale diverso da zero e scriviamolo come m/n, con m e n interi primi fra loro e n positivo. Allora poniamo f(n)=m/n -1/(n^2) e f(0)=-1.
<BR>Ovviamente f soddisfa la condizione f(r) e\' minore di r per ogni r razionale. Verifichiamo ora che soddisfa anche la seconda condizione. Fissiamo un a razionale e
<BR>supponiamo che r soddisfi r>a>f(r).
<BR>Allora r ci da\' una coppia (m,n) con m e n primi tra loro tali che
<BR>
<BR>(*) a sia diverso da m/n, n sia positivo e 1/(n^2) > |a-m/n|
<BR>
<BR>Analizziamo un po\' meglio la condizione (*).
<BR>Se a e\' diverso da zero scriviamo a=q/p con q e p primi tra loro, se a=0 poniamo q=0 e p=1.
<BR>Quello che abbiamo se (m,n) sono primi tra loro soddisfano la condizione (*) e\' che
<BR>
<BR>1/n^2 > |q/p-m/n|
<BR>
<BR>cioe\' p/n > |qn - mp|. Osserviamo pero\' che qn-mp non e\' zero (perche\' q/p e\' diverso da m/n) e quindi la condizione (*) ci dice p/n >1, ovvero p>n. Cioe\' la
<BR>condizione (*) puo\' essere soddisfatta solo se n<p, ovvero per un numero finito di n. A questo punto e\' semplice osservare che per ogni n<p c\'e\' solo un numero
<BR>finito di m per cui la condizione (*) puo\' valere. Quindi ne deduciamo che c\'e\' solo un numero finito di r per cui f(r)<a<r.
<BR>
<BR>Prendiamo un q razionale diverso da zero e scriviamolo come m/n, con m e n interi primi fra loro e n positivo. Allora poniamo f(n)=m/n -1/(n^2) e f(0)=-1.
<BR>Ovviamente f soddisfa la condizione f(r) e\' minore di r per ogni r razionale. Verifichiamo ora che soddisfa anche la seconda condizione. Fissiamo un a razionale e
<BR>supponiamo che r soddisfi r>a>f(r).
<BR>Allora r ci da\' una coppia (m,n) con m e n primi tra loro tali che
<BR>
<BR>(*) a sia diverso da m/n, n sia positivo e 1/(n^2) > |a-m/n|
<BR>
<BR>Analizziamo un po\' meglio la condizione (*).
<BR>Se a e\' diverso da zero scriviamo a=q/p con q e p primi tra loro, se a=0 poniamo q=0 e p=1.
<BR>Quello che abbiamo se (m,n) sono primi tra loro soddisfano la condizione (*) e\' che
<BR>
<BR>1/n^2 > |q/p-m/n|
<BR>
<BR>cioe\' p/n > |qn - mp|. Osserviamo pero\' che qn-mp non e\' zero (perche\' q/p e\' diverso da m/n) e quindi la condizione (*) ci dice p/n >1, ovvero p>n. Cioe\' la
<BR>condizione (*) puo\' essere soddisfatta solo se n<p, ovvero per un numero finito di n. A questo punto e\' semplice osservare che per ogni n<p c\'e\' solo un numero
<BR>finito di m per cui la condizione (*) puo\' valere. Quindi ne deduciamo che c\'e\' solo un numero finito di r per cui f(r)<a<r.
Ci provo:
<BR>se f(f(x-y)) = f(x) - f(y) per ogni x e y, f dovrà essere tale da verificare la seguente identità:
<BR>f(f(x-0)) = f(x) - f(0)
<BR>f(f(x)) = f(x) - f(0)
<BR>Per surgettività di f, esisterà un x per cui f(x)=0, quindi deve essere vera anche la seguente:
<BR>f(0) = 0 - f(0)
<BR>da cui:
<BR>f(0) = 0
<BR>
<BR>Sostituendo:
<BR>f(f(x)) = f(x)
<BR>quindi:
<BR>f(x) = x
<BR>se f(f(x-y)) = f(x) - f(y) per ogni x e y, f dovrà essere tale da verificare la seguente identità:
<BR>f(f(x-0)) = f(x) - f(0)
<BR>f(f(x)) = f(x) - f(0)
<BR>Per surgettività di f, esisterà un x per cui f(x)=0, quindi deve essere vera anche la seguente:
<BR>f(0) = 0 - f(0)
<BR>da cui:
<BR>f(0) = 0
<BR>
<BR>Sostituendo:
<BR>f(f(x)) = f(x)
<BR>quindi:
<BR>f(x) = x
Ciao N3o,
<BR> soluzione perfetta (e piu\' breve di quella che avevo pensato io). Ho notato che scrivi da SBT. Io sono di Colli e ho fatto il Liceo Scientifico a San Benedetto! Probabilmente abbiamo amici in comune...
<BR>
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-03-02 21:06 ]</font><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-03-02 21:14 ]</font>
<BR> soluzione perfetta (e piu\' breve di quella che avevo pensato io). Ho notato che scrivi da SBT. Io sono di Colli e ho fatto il Liceo Scientifico a San Benedetto! Probabilmente abbiamo amici in comune...
<BR>
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-03-02 21:06 ]</font><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-03-02 21:14 ]</font>