Potenza di 2... aggiungendo una cifra!

[Gauss_87]

Determinare tutte le coppie $ (m,n) \in Z^+^2 $ tali che la rappresentazione decimale di $ 2^m $ si ottiene aggiungendo una cifra(non nulla) a sinistra della rappresentazione decimale di $ 2^n $

[HiTLeuLeR]

Se $m, n \in \mathbb{N}$ risolvono il problema, allora ovviamente $0 < m < n$. Posto perciò $n = m+k$, con $k \in \mathbb{Z}^+$, vale $2^m \cdot (2^k - 1) = a \cdot 10^{p+1}$, dove $a \in \mathcal{D}_{10} := \{0, 1, \ldots, 9\}$ e $p := \lfloor m \;\!\log_{10}2 \rfloor$. Dunque $k \ge 2$, siccome $v_5(\mbox{LHS}) \ge 1$. Tuttavia l'equazione $2^k - 1 = 5^q$ non possiede soluzioni in interi positivi. Pertanto $a \not \in \{4, 8\}$, viz $0 \le v_2(a) \le 1$. Ne risulta $m = v_2(a) + p+1 < 2 + m \;\!\log_{10}2$, e.g. $\displaystyle m \le \left\lfloor\frac{2}{1-\log_{10}2}\right\rfloor = 2$. Per concluderne che le uniche soluzioni possibili al problema corrispondono alle coppie $(m,n) = (1,5)$ ed $(m,n) = (2,6)$.

[MindFlyer]

HiTLeuLeR, il LaTeX...
E anche qui.

[Gauss_87]

Se $ m, n \in \mathbb{N} $ risolvono il problema, allora ovviamente $ 0 < m < n $. Posto perciò $ n = m+k $, con $ k \in \mathbb{Z}^+ $, vale $ 2^m \cdot (2^k - 1) = a \cdot 10^{p+1} $, dove $ a \in \mathcal{D}_{10} := \{0, 1, \ldots, 9\} $ e $ p := \lfloor m \;\!\log_{10}2 \rfloor $. Dunque $ k \ge 2 $, siccome $ v_5(\mbox{LHS}) \ge 1 $. Tuttavia l'equazione $ 2^k - 1 = 5^q $ non possiede soluzioni in interi positivi. Pertanto $ a \not \in \{4, 8\} $, viz $ 0 \le v_2(a) \le 1 $. Ne risulta $ m = v_2(a) + p+1 < 2 + m \;\!\log_{10}2 $, e.g. $ \displaystyle m \le \left\lfloor\frac{2}{1-\log_{10}2}\right\rfloor = 2 $. Per concluderne che le uniche soluzioni possibili al problema corrispondono alle coppie $ (m,n) = (1,5) $ ed $ (m,n) = (2,6) $.