Su stessa ammissione del propositore, di combinatorico non ha niente se non l'origine dei simboli che vi compaiono ... inoltre l'analisi complessa è ben lungi dall'essere tecnica olimpica. EG
Dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{n!}{(2n)!} + e^{-1/4} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1) 2^{2n+1} n!} = 1 $
Sorprendente Identità [combinatoria analitica]
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Jack alias elianto84 alias jack202
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Re: Sorprendente Identità [combinatoria analitica]
Sono riuscito a condurre la seconda sommatoria a un integrale definito (purtroppo la funzione integranda non ha primitive elementari), mi chiedo solo: tu conosci la dimostrazione, è combinatoria o analitica?elianto84 ha scritto:Dimostrare che...
Re: Sorprendente Identità [combinatoria analitica]
The right way. Basta far lo stesso con la prima serie e usare un pizzico di analisi complessa.Santana ha scritto:Sono riuscito a condurre la seconda sommatoria a un integrale definito
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Re: Sorprendente Identità [combinatoria analitica]
Tanto per dire io ho fatto così, sappiamo cheelianto84 ha scritto:The right way. Basta far lo stesso con la prima serie e usare un pizzico di analisi complessa.
$ \[ \frac{1}{2}e^{x^2 /4} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^{2n} }}{{2^{2n + 1} n!}}} \] $
da cui
$ \[ \frac{1}{2}\int {e^{x^2 /4} dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^{2n + 1} }}{{\left( {2n + 1} \right)2^{2n + 1} n!}}} \] $
e infine
$ \[ \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {e^{x^2 /4} dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)2^{2n + 1} n!}}} \] $
quest'ultimo integrale non ha primitive elementari, si ritrova nella tua dimostrazione? La prima sommatoria mi sembra un pò più complessa, sono
curioso perchè come può vedere in un altro post, mi occupo (o forse meglio dire occupavo) di serie di questi tipi...
scusate ... passo di corsa (e... fra parentesi... pare che faccia fisica )
direi che l'altra serie si può esprimere così
$ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\int\limits_0^\infty{(-t)^{n}e^{-t}}dt}{2n!} = \int\limits_0^\infty{\frac{e^{i\sqrt{t}}+e^{-i\sqrt{t}}}{2}e^{-t}}dt $
ovvero l'identità iniziale equivale a
$ \int\limits_0^{\frac{1}{2}}{e^{x^2}}dx = e^{\frac{1}{4}}\int\limits_0^\infty{e^{-y^2}\sin{y}}dy $
direi che l'altra serie si può esprimere così
$ \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\int\limits_0^\infty{(-t)^{n}e^{-t}}dt}{2n!} = \int\limits_0^\infty{\frac{e^{i\sqrt{t}}+e^{-i\sqrt{t}}}{2}e^{-t}}dt $
ovvero l'identità iniziale equivale a
$ \int\limits_0^{\frac{1}{2}}{e^{x^2}}dx = e^{\frac{1}{4}}\int\limits_0^\infty{e^{-y^2}\sin{y}}dy $
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