Locomotiva elettrica e Binari... senza attrito...

[NEONEO]

sono d'accordo con BM, però non credo di sapere come si vada avanti.....

[Gauss_87]

Non mi sembra che la vostra soluzione sia corretta.
Avete considerato il binario come un punto materiale, in realtà è un corpo rigido. Dopo il raggiungimento della velocità di regime, il binario oltre a un moto traslatorio circolare del suo baricentro attorno al CM del sistema (che rimane fisso) ha anche un moto rotatorio uniforme attorno al suo baricentro. Questo comporta un errore nell'equazione che definisce la velocità relativa.
Provate a calcolare anche tale velocità angolare e a considerarne gli effetti sulla soluzione.

ciao

In effetti hai ragione, e anche Cu_Jo perchè la formula di composizione delle velocità l'ho applicata alla buona infatti ho scritto: è giusta così???

Dati due sistemi di riferimento $ O $ e $ O' $:

$ \displaystyle \vec{v_P} = \vec{v_{O'}} + \vec{v'_P} + \vec{\omega} \times \vec{r'} $,

dove ho scritto in ordine: la velocità del punto P nel riferimento O, quella del dell'origine del riferimento O' rispetto ad O, la velocità del punto P nel riferimento O', omega vettore r' dà la velocità del moto rotatorio del riferimento O' rispetto O.

Ora come applicarla per bene?
Forza ragazzi ci siamo vicini!

[BMcKmas]

Posso consigliarvi di usare un po' di senso fisico e cercare di immaginare cosa succede?
La fase transitoria (quando la locomotiva accelera sui binari) è un po' complessa da analizzare (infatti è indicato di trascurarla nel testo), allora la consideriamo istantanea. Questo comporta che vi sia un impulso I mutuo tra locomotiva e binario (come se il moto fosse prodotto dall'estensione improvvisa di una molla precompressa molto corta). Il valore di I può essere calcolato.
Penso che per ottenere questo valore, le condizioni iniziali di moto (quando la molla ha esaurito la spinta) dovranno essere definite e il resto pertanto diventerà molto più semplice.

Buon lavoro

[Gauss_87]

era facile pensare alla forza elettrica come una forza interna simile ad una molla... il fatto è che secondo me il senso fisico va usato per mettersi in un riferimento che semplifichi le equazioni.

[BMcKmas]

non mi sono spiegato, il senso fisico non si riferisce all'identificazione della molla come causa (una azione elettrica o lo scoppio di una carica .. vanno altrettanto bene), ma all'effetto prodotto dall'impulso sui due corpi, al moto che questo innesca e quindi alla sua conseguente valutazione.....

[Gauss_87]

non mi sono spiegato, il senso fisico non si riferisce all'identificazione della molla come causa (una azione elettrica o lo scoppio di una carica .. vanno altrettanto bene), ma all'effetto prodotto dall'impulso sui due corpi, al moto che questo innesca e quindi alla sua conseguente valutazione.....

Lo ben so! Ma adesso che aspetti a farci vedere la soluzione, se la sai fare, ... ???

[BMcKmas]

Lo ben so! Ma adesso che aspetti a farci vedere la soluzione, se la sai fare, ... ???

Pensavo voleste risolverlo da soli!
Vi do qualche altro indizio:
supponiamo che il moto parta quando la locomotiva si trova in $ (R,0) $ e che la locomotiva sia diretta verso le $ y $ negative. Chiamo $ I $ l'impulso che si scambiano locomotiva e binario nel rilascio della molla (l'impulso è diretto come $ y $ perchè in direzione $ x $ non vi può essere moto relativo). Tale impulso è per il III principio diretto verso $ +y $ per il binario e verso $ -y $ per la locomotiva.
A moto iniziato, chiamo $ (V_x,V_y) $ la velocità (assoluta) del baricentro del binario (massa $ M $, raggio $ R $ ), $ \omega $ la velocita di rotazione angolare del binario (positiva se antioraria), $ (v_x,v_y) $ la velocità (assoluta) del treno (massa $ m $) e $ v_0 $ il modulo della velocità relativa del treno rispetto al binario.
Le equazioni significative sono:
$ MV_x=0 $ (impulso per il binario)
$ MV_y=I $ (impulso per il binario)
$ MR^2\omega=IR $ (momento dell'impulso per il binario)
$ mv_x=0 $ (impulso per la locomotiva)
$ mv_y=-I $ (impulso per la locomotiva)
$ v_0=V_y+\omega R-v_y $ (cinematica del moto relativo)

A questo punto ve lo lascio da verificare e da completare.

[Gauss_87]

insomma, li può avere una soluzione completa?

Inoltre: non si era detto che era più rigoroso considerare i binari come un corpo rigido?

[BMcKmas]

insomma, li può avere una soluzione completa?

Inoltre: non si era detto che era più rigoroso considerare i binari come un corpo rigido?

Cosa intendi: il risultato finale?
Infatti, come vedi ho usato il teorema del momento dell'impulso che permette di introdurre la velocità angolare e che è privo di significato per il punto materiale.

ciao

[tuvok]

Correggetemi se sbaglio: per imprimere una velocità angolare al binario attorno al suo centro di massa, sarebbe necessario un momento di forza diverso da zero; ma poichè l'unica forza agente è quella elettrica che fa muovere il trenino, avente direzione radiale (poichè il trenino si muove di moto circolare), non è ragionevole supporre che il momento risultante sia zero e che il binario non ruoti attorno a se stesso $ (\omega=0) $?

[NEONEO]

Ciao andre, non credo che sia come hai detto tu; il trenino tramite la forza elettrica imprime al binario un impulso tangezialmente, non radialmente, appunto perchè si muove su di esso, su un cerchio......

[BMcKmas]

Ciao andre, non credo che sia come hai detto tu; il trenino tramite la forza elettrica imprime al binario un impulso tangezialmente, non radialmente, appunto perchè si muove su di esso, su un cerchio......

Esatto. L'impulso che ho riportato nelle equazioni, mi sembrava di averlo spiegato ma evidentemetne non sono stato abbastanza chiaro, ha direzione tangenziale (nello schema è diretto come l'asse y).
Raggiunte le condizioni di regime (definite dalle velocità che si ottengono dal sistema indicato) i due oggetti hanno i seguenti moti (assoluti):
1) la locomotiva si muove di moto circolare uniforme attorno al baricentro comune (che non si sposta mai)
2) il baricentro del binario ha un moto circolare uniforme attorno al baricentro comune e nel contempo continua a ruotare attorno al proprio asse con la velocità angolare iniziale.
3) in ogni istante i due baricentri sono ovviamente da parti opposte rispetto al baricentro comune

Durante la fase di regime i due oggetti effettivamente si scambiano una forza perpendicolare al binario (non c'è attrito) che è, istante per istante, diretta come la retta passante per i tre baricentri. E' proprio questa forza conservativa che giustifica il moto circolare uniforme del baricentro di entrambi.

La sitazione è analoga al moto di due stelle in un sistema binario, le differenze sono la natura dell'interazione (in quel caso gravitazionale) e la possibilità di moti non circolari per l'assenza di vincoli di tipo cinematico.

[NEONEO]

Giusto è esattamente come la pensavo io, ma anche Gauss lo ha fatto così....

[BMcKmas]

Giusto è esattamente come la pensavo io, ma anche Gauss lo ha fatto così....

Si, ma avendo trascurato $ \omega $ non ha valutato le corrette condizioni iniziali e credo anche la frequenza dei moti circolari....

[tuvok]

Scusate, avevo preso un abbaglio con questa storia delle forze radiali, ma riconosco che effettivamente l'impulso iniziale è tangenziale, altrimenti non accadrebbe che il trenino iniziasse a muoversi!