Ragazzi, qualcuno sa dirmi (è un argomento di analisi 2) cosa sia un dominio semplicemente connesso???
Cioè, io ho da risolvere una forma differenziale, cioè devo vedere se è una forma esatta. So che sotto certe ipotesi, verificare la chiusura (derivate incrociate uguali) equivale all'esattezza della forma, ma non ricordi più queste ipotesi. Mi sa che centra qualcosa questo dominio connesso/seplicemente connesso!!! Bo
[analisi] dominio semplicemente connesso
Un dominio semplicemente connesso è un sottoinsieme $ D $ aperto e connesso di $ \mathbb{R}^n $ tale che ogni laccio sia omotopo al laccio nullo, ovvero tale che, per ogni applicazione continua $ \gamma:\mathbb{S}^1\to D $ esiste una applicazione continua $ H:\mathbb{S}^1\times [0,1]\to D $ tale che $ H(p,0)=\gamma(p) $ per ogni p in $ \mathbb{S}^1 $ e $ H(p,1)=x_0 $ per ogni p e per un fissato $ x_0 $ in D.
Su un dominio semplicemente connesso tutte le forme chiuse sono esatte. L'idea di base è che puoi sfruttare la chiusura per integrare la forma su una piccola palletta intorno a ogni punto e poi "incollare" le primitive tra le varie palle; questa operazione riesce grazie alla semplice connessione, che è, un po' grossolanamente, la proprietà di non avere buchi, quindi non può succedere che tu debba girare attorno a un buco da due parti diverse e poi trovarti con due cose che non si incollano.
Comunque, esempi di domini semplicemente connessi sono :
lo spazio intero $ \mathbb{R}^n $
la sfera $ \{x\in\mathbb{R}^n | \|x\|=1\} $ se $ n>2 $
la palla $ \{x\in\mathbb{R}^n | \|x\|<1\} $
e tutte le cose omeomorfe a queste.
Su un dominio semplicemente connesso tutte le forme chiuse sono esatte. L'idea di base è che puoi sfruttare la chiusura per integrare la forma su una piccola palletta intorno a ogni punto e poi "incollare" le primitive tra le varie palle; questa operazione riesce grazie alla semplice connessione, che è, un po' grossolanamente, la proprietà di non avere buchi, quindi non può succedere che tu debba girare attorno a un buco da due parti diverse e poi trovarti con due cose che non si incollano.
Comunque, esempi di domini semplicemente connessi sono :
lo spazio intero $ \mathbb{R}^n $
la sfera $ \{x\in\mathbb{R}^n | \|x\|=1\} $ se $ n>2 $
la palla $ \{x\in\mathbb{R}^n | \|x\|<1\} $
e tutte le cose omeomorfe a queste.