siano dati $ m $ e $ n $, due interi positivi, e $ k $ intero positivo dispari, tali che
$ (2+\sqrt3)^k=m+1+n\sqrt3 $
dimostrare che $ m $ è un quadrato perfetto.
good luck in solving this problem.....
ciao ciao a tutti
[Alg/TdN] IberoAmerican 1987/A3
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Simo_the_wolf
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Allora... Utilizziamo subito il "trucchettino"...
Diciamo che se $ (2+\sqrt{3})^k)=x_k+y_k\sqrt{3} $ dove $ x_k $ e $ y_k $ sono interi allora $ (2-\sqrt{3})^k=x_k-y_k\sqrt{3} $ (è facile convincersene sviluppando tutto).
Quindi abbiamo che $ 2x_k=(2+\sqrt{3})^k+(2-\sqrt{3})^k $.
La tesi è dimostrare che $ x_k-1=\frac {(2+\sqrt{3})^k-2+(2-\sqrt{3})^k}2 $ sia un quadrato con $ k $ dispari.
Ma abbiamo che:
$ (2+\sqrt{3})^{2k+1} - 2+(2+\sqrt{3})^{2k+1}= $
$ (2+\sqrt{3})^{2k+1}-2(2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}(2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}+(2+\sqrt{3})^{2k+1}= $
$ ( (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12})^2 $
E quindi ci dobbiamo ridurre a dimostrare che $ \frac 1{\sqrt{2}} ((2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}) $ sia un intero. Ma:
$ (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}= $
$ \sqrt{2+\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})^k - \sqrt{2-\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})^k= $
$ \sqrt{2+\sqrt{3}}(x_k+y_k\sqrt{3})-\sqrt{2-\sqrt{3}}(x_k-y_k\sqrt{3})= $
$ (\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})x_k + (\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2+\sqrt{3}}) y_k \sqrt{3}= $
$ \sqrt{2}x_k + 3\sqrt{2}y_k $
Infatti abbiamo che $ \sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6} $ e lo si vede elevando al quadrato entrambi i membri.
Quindi infine abbiamo che:
$ \displaystyle \sqrt{x_{2k+1}-1}=\sqrt{\frac {(2+\sqrt{3})^{2k+1}-2+(2-\sqrt{3})^{2k+1}}\2} = $$ \displaystyle \frac{ \sqrt{( (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12})^2 }}{\sqrt{2}} = $$ \displaystyle \frac{\sqrt{2}x_k + 3\sqrt{2}y_k}{\sqrt{2}} = x_k+3y_k $
E quindi avremo: $ x_{2k+1}-1=(x_k+3y_k)^2 $.
Rilancio con un altro problema:
$ (6+\sqrt{35})^k=x_k + \sqrt {35} y_k $
Dimostrare che, per k pari, si ha che $ x_k $ è dispari e che $ \frac {x_k+1}2 $ è un quadrato perfetto.
Diciamo che se $ (2+\sqrt{3})^k)=x_k+y_k\sqrt{3} $ dove $ x_k $ e $ y_k $ sono interi allora $ (2-\sqrt{3})^k=x_k-y_k\sqrt{3} $ (è facile convincersene sviluppando tutto).
Quindi abbiamo che $ 2x_k=(2+\sqrt{3})^k+(2-\sqrt{3})^k $.
La tesi è dimostrare che $ x_k-1=\frac {(2+\sqrt{3})^k-2+(2-\sqrt{3})^k}2 $ sia un quadrato con $ k $ dispari.
Ma abbiamo che:
$ (2+\sqrt{3})^{2k+1} - 2+(2+\sqrt{3})^{2k+1}= $
$ (2+\sqrt{3})^{2k+1}-2(2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}(2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}+(2+\sqrt{3})^{2k+1}= $
$ ( (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12})^2 $
E quindi ci dobbiamo ridurre a dimostrare che $ \frac 1{\sqrt{2}} ((2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}) $ sia un intero. Ma:
$ (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12}= $
$ \sqrt{2+\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})^k - \sqrt{2-\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})^k= $
$ \sqrt{2+\sqrt{3}}(x_k+y_k\sqrt{3})-\sqrt{2-\sqrt{3}}(x_k-y_k\sqrt{3})= $
$ (\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})x_k + (\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2+\sqrt{3}}) y_k \sqrt{3}= $
$ \sqrt{2}x_k + 3\sqrt{2}y_k $
Infatti abbiamo che $ \sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2} $ e $ \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6} $ e lo si vede elevando al quadrato entrambi i membri.
Quindi infine abbiamo che:
$ \displaystyle \sqrt{x_{2k+1}-1}=\sqrt{\frac {(2+\sqrt{3})^{2k+1}-2+(2-\sqrt{3})^{2k+1}}\2} = $$ \displaystyle \frac{ \sqrt{( (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12} - (2+\sqrt{3})^{k+\frac 12})^2 }}{\sqrt{2}} = $$ \displaystyle \frac{\sqrt{2}x_k + 3\sqrt{2}y_k}{\sqrt{2}} = x_k+3y_k $
E quindi avremo: $ x_{2k+1}-1=(x_k+3y_k)^2 $.
Rilancio con un altro problema:
$ (6+\sqrt{35})^k=x_k + \sqrt {35} y_k $
Dimostrare che, per k pari, si ha che $ x_k $ è dispari e che $ \frac {x_k+1}2 $ è un quadrato perfetto.