Dinamiche (un po') meno complesse

[Bacco]

Trovare quanti sono gli $ n \in N $ con $ 1000<n<2005 $ tali che $ \displaystyle z=\sum_{k=1}^{n} ki^k $ giaccia sul II quadrante del piano di Gauss.

Ciao

[Leandro]

Dai miei calcoli risulta che deve essere $ n\equiv 2 mod(4) $ e che quindi
il numero richiesto e' 251.
Se il risultato e' esatto posto anche il procedimento ,altrimenti mi
risparmio la fatica!
Ciao.

[Bacco]

Sì, è esatto! Posta il procedimento..

[Leandro]

Mi servo di procedimenti elementari che gia' conosco (non sara' il massimo,ma
e' quello che ho trovato).
Alur,sia:
$ S_n=x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n $
Moltiplicando per x:
$ xS_n=x^2+2x^3+3x^4+\cdots+(n-1)x^n+nx^{n+1} $
Ovvero:
$ xS_n=S_n-x-x^2-x^3-\cdots-x^n+nx^{n+1} $
Oppure:
$ xS_n=S_n+nx^{n+1}-x(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}) $
E cioe':
$ S_n=\frac{x}{(x-1)^2}(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1) $
In particolare per x=i:
$ z=-\frac{1}{2}(ni^{n+1}-(n+1)i^n+1) $
Occorre ora distinguere tra n dispari ed n pari:
a)n=2p+1
In questo caso si ha:
$ z=-\frac{1}{2}((2p+1)(-1)^{p+1}+1)+(p+1)(-1)^pi $
Deve essere:
$ (2p+1)(-1)^{p+1}+1>0 ,(p+1)(-1)^p>0 $
ed e' facile vedere ,ragionando sulla parita' di p,che questo sistema e' impossibile.
b)n=2p
In questo caso si ha:
$ z=-\frac{1}{2}(-(2p+1)(-1)^{p}+1)-p(-1)^pi $
Deve essere:
$ -(2p+1)(-1)^p+1>0,p(-1)^p<0 $
ed e' facile vedere,ragionando sulla parita' di p,che tale sistema e' possibile
solo se p e' dispari:p=2k+1.Pertanto risulta n=2(2k+1)=4k+2.
Ora deve risultare :
1000<4k+2<2005--->$ 250 \leq k\leq 500 $ da cui risulta k=251.
Ho saltato qualche passaggio :spero di non aver fatto errori (una faticaccia!!)
Ciao.

[Bacco]

Io ho usato un metodo diverso, senza ragionamenti sulla parità: mi riduco a studiare k=f(n) in funzione della congruenza di n mod 4, si vede subito che le parti reale e immaginaria soddisfano le condizioni richieste sse n=2(4), da cui esistono 251 n nell'intervallo dato.