radice di Nesbitt

[HiTLeuLeR]

HiTLeuLeR's solution

By Jensen's $ \mbox{LHS} \ge 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3} \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{y+z}} $. By Nesbitt's $ \sum_{\mbox{cyc}}\frac{x}{y+z} \ge \frac{3}{2} $. E siccome $ 3 > 2\sqrt{2} $...

nel tuo modo dimostri che LHS è sempre maggiore di $ \displatstyle \frac{3}{\sqrt2} $. ecco per esempio, scegliendo $ a=1,b=1,c=\frac{1}{10} $ viene LHS=2,0417886... e $ \displatstyle \frac{3}{\sqrt2} $ = 2,121320...

Ah, davvero?! Guarda, siccome è fato per un nobile fine, sono anche disposto a sporcarmi le mani con i conti! Dunque vediamo... Siano x = y = 1 e z = 1/10, come tu suggerisci, frengo. Risulta allora LHS = \sqrt{10/11} + \sqrt{10/11} + \sqrt{1/20}. Oh, ma tu guarda... La mia calcolatrice scientifica dice che quest'ultima quantità è circa uguale (anzi, maggiore di) 2,130. Che la tua si sia beccata l'influenza aviaria?

[thematrix]

Essì,è vero...tuttavia,nel caso$ x = y =1 , z = \frac {1}{100} $,
salta fuori $ LHS = 2* \sqrt{\frac{100}{101}} + \sqrt{\frac{1}{200}} < 2,07 $ ...

[EvaristeG]

Non ho toccato il codice, hit ... hai modificato tu stesso il tuo messaggio tra il quote di frengo e il mio intervento, infatti in calce era segnata una modifica da parte tua.
Inoltre, già che ci siamo ... fai il bravo utente e il diligente solutore la prossima volta, mettendo i tag e spiegando i passaggi ... by Jensen non è una giustificazione credibile ad occhio quando entrano in campo frazioni e radici.

[HiTLeuLeR]

Per quel che può servire... Ti credo, Ev. Ma tu credi a me: non l'ho toccato neanch'io (il codice)! Nella modifica a cui ti riferisci sostituivo semplicemente una x con una y, avendo scritto a un certo punto dei calcoli y/(y+z) anziché y/(x+z). Sia come sia, mi rendo conto adesso di aver comunque applicato Jensen nel verso sbagliato. Ok, stasera a letto senza cena (np, visto che nell'ultima settimana ho preso ben 2 kg, gkgkgk). Rimedio subito (altrimenti chi vi sente...)!

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Wlog, sia x+y+z = 1. Allora \mbox{LHS} = \sum_{\mbox{cyc}} \sqrt{\frac{x}{1-x}} \geq \sum_{\mbox{cyc}} 2x = 2, siccome a \ge 4a^2(1-a), se 0 < a < 1, con uguaglianza sse a = 1/2. Da qui segue che la maggiorazione indicata è pure stretta, perché x, y, z non possono valere tutti contemporaneamente 1/2.

[frengo]

1) quando ho quotato quel messaggio ho cambiato \sqrt in \frac, sono andato un pò a buonsenso, ma resta il fatto che tu avevi scritto \sqrt.

Wlog, sia $ x+y+z = 1 $. Allora $ \mbox{LHS} = \sum_{\mbox{cyc}} \sqrt{\frac{x}{1-x}} \geq \sum_{\mbox{cyc}} 2x = 2 $, siccome $ a \ge 4a^2(1-a) $, se 0 < a < 1, con uguaglianza sse a = 1/2. Da qui segue che la maggiorazione indicata è pure stretta, perché x, y, z non possono valere tutti contemporaneamente 1/2.

2)ok, adesso va bene. devi ammettere che è un pò "unconventional" come disuguaglianza(e tu c'eri cascato in pieno), per questo il "MOLTO" ecc.

ciao ciao

ps dai, un piccolo sforzo non è difficile... [ t e x ] [ / t e x ]

[HiTLeuLeR]

Sì, è vero, c'ero cascato in pieno... Non perché fosse tuttavia difficile o cos'altro, ma piuttosto perché - lo vedi, no!? - sono tanto tanto ciuco! Poi tu continua pure a credere quel che ti pare, non ho alcun interesse a dissuaderti dalle tue idee.

In quanto al mistero del codice, mh... Quel che mi dici mi lascia ancora più perplesso che prìa: non è il primo episodio in cui mi sorge il dubbio cheee... Vabbè, staremo a guardare. Per quel che riguarda il resto, trovo poi assurdo ed egoistico non considerare il punto di vista di tanti utenti che, non disponendo d'un collegamento veloce ad internet, sono costretti ad aspettare dei lunghi interminabili minuti acché il loro browser finisca di caricare le pagine del forum, piene zeppe di immagini e formuloni. E' per tutti loro che si leva questa mia voce di protesta... Che vuo' farci?! Sono taaaaaanto buono...

P.S.: ciao ciao!

[fph]

trovo poi assurdo ed egoistico non considerare il punto di vista di tanti utenti che, non disponendo d'un collegamento veloce ad internet, sono costretti ad aspettare dei lunghi interminabili minuti acché il loro browser finisca di caricare le pagine del forum, piene zeppe di immagini e formuloni. E' per tutti loro che si leva questa mia voce di protesta...

Ti faccio notare che il forum è perfettamente fruibile anche se si disabilita il caricamento delle immagini. Le immagini delle formule vengono sostituite dal loro "sorgente" LaTeX. Quindi non preoccuparti degli utenti con connessioni lente (e non usarlo come scusa per non scrivere il codice LaTeX ammodo )

[HiTLeuLeR]

Uffa, eccheccavolo! Va bene, vedrò di inventarmi una scusa che regga, la prossima volta...