vincolo sull'uguaglianza

[Simo_the_wolf]

Siano $ x_1,x_2,....x_n,x_{n+1} $ reali positivi con $ x_{n+1}=x_1 $ e sia $ c>-2 $ un reale. Dimostrare che se vale:

$ \displaystyle \sum_{i=1}^n \sqrt{x_i^2+cx_ix_{i+1}+x_{i+1}^2}= \sqrt{c+2} \sum_{i=1}^n x_i $

Allora $ c=2 $ o $ x_1=x_2=...=x_n $.

[elianto84]

Hint.
Rivelatosi inutile.

[Leblanc]

Beh, viva l'AM-GM...

Riscrivo l'uguaglianza come:
$ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{{(x_i+x_{i+1})^2+(c-2)x_ix_{i+1}}}{c+2}}= \sum_{i=1}^n x_i $

Inoltre uso un paio di volte, nella dim, la disuguaglianza
$ x_i x_{i+1} \leq \frac{1}{4}(x_i+x_{i+1})^2 $

Faccio 3 casi:
1. c=2 E' facile verificare che c'è sempre ugaglianza.
2. c>2 voglio dimostrare che
$ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{{(x_i+x_{i+1})^2+(c-2)x_ix_{i+1}}}{c+2}}\leq \sum_{i=1}^n x_i $
Dato che c-2 è positivo, posso usare la disug sopra, ottenendo che:
$ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{{(x_i+x_{i+1})^2+(c-2)x_ix_{i+1}}}{c+2}}\leq $
$ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{(x_i+x_{i+1})^2+(c-2) \frac{1}{4}(x_i+x_{i+1})^2}{c+2}} \leq \sum_{i=1}^n \frac{x_i+x_{i+1}}{2} = \sum_{i=1}^n x_i $
con uguaglianza sse $ x_1=x_2=...=x_n $.
3.c<2 voglio dimostrare che
$ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{{(x_i+x_{i+1})^2+(c-2)x_ix_{i+1}}}{c+2}}\geq \sum_{i=1}^n x_i $
Dato che c-2 è negativo, posso comunque usare la disug sopra (perchè in tal modo sottraggo una quantità maggiore, ma io voglio dimostrare la disuguaglianza opposta rispetto a prima):
$ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{{(x_i+x_{i+1})^2+(c-2)x_ix_{i+1}}}{c+2}}\geq $
$ \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{(x_i+x_{i+1})^2+(c-2) \frac{1}{4}(x_i+x_{i+1})^2}{\sqrt{c+2}}} \geq \sum_{i=1}^n \frac{x_i+x_{i+1}}{2} = \sum_{i=1}^n x_i $
con uguaglianza sse $ x_1=x_2=...=x_n $.
Ecco fatto!
Maria