cubo_AIME_88

[post233]

Find the smallest positive cube ending in 888.
(AIME 1988)

[Melkor M.]

Chiamato $ n^3 $ il cubo, sai che è congruo a 2 mod10 (guardi i residui cubici), quindi puoi scriverlo come $ (10a+2)^3 $.
Sviluppi il cubo del binomio mod100, vedi che due termini sono congrui a zero, ti rimane $ (120a+8)\equiv 88 $ allora l'ultima cifra di $ 12a $ deve essere 8, e gli unici $ a $ buoni sono 4 e 9, e quindi $ a=10c+4 $ oppure
$ a=10c+9 $.
Sostituisci in $ (10a+2)^3 $ ottieni $ (100c+42)^3 $ e $ (100c+92)^3 $.
Di nuovo sviluppi il binomio mod 1000, e ottieni $ (100c+42)^3\equiv200c+88 $ e $ (100c+92)^3\equiv200c+688 $.
Si allora vede che il più piccolo $ n $ è $ 192 $, cioè $ (100c+92) $ con $ c=1 $.

[post233]

Ok!