Rette di Eulero

[Azarus]

Sia ABC un triangolo ed H il suo ortocentro.

Mostrare che le rette di Eulero di ABH, ACH, BCH, ABC concorrono

[Boll]

Prendiamo il triangolo $ ABH $. La circonferenza di Feuerbach di $ ABC $ passa per il punto medio di $ AB $, quello di $ AH $ e quello di $ BH $ (proprietà del cerchio di Feuerbach). Quindi, poichè per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza, avremo che i cerchi di Feuerbach di $ ABC $, $ ABH $ e anche $ BCH $ e $ CAH $, cambiando la denominazione, coincidono. Preso il loro centro, che chiameremo $ F $, sappiamo che $ F $ sta sulla retta di Eulero (quindi sulla retta di Eulero di tutti e quattro i triangoli). Quindi le quattro rette concorrono in $ F $


EDIT: Per chi ha visto l'altra, si mordicchiava la coda, e questa ha il pregio di essere completamente euclidea.

[EvaristeG]

Visto che il titolo è generico, rilancio.
Dimostrate la stessa cosa prendendo l'incentro al posto dell'ortocentro.