Mi assento per qualche giorno, e cosa ti ritrovo? Il subforum di TdN in uno stato di degrado e di abbandono...
Lm #1: se $ p\in \mathfrak{P} $; $ g\in\mathbb{Z} $ è un generatore $ \bmod\; p $ ed $ s = v_p(g^{p-1} - 1) $: $ \mbox{ord}_{p^n}(g) = $ $ \left\{\begin{array}{l}p-1\quad \mbox{ se } n \leq s;\\ n-s\quad\mbox{ se } n > s\end{array}\right. $.
Dim.: teorema binomiale di Newton e valutazioni $ p $-adiche a go go.
Lm #2: se $ p\in \mathfrak{P} $ e $ g\in\mathbb{Z} $ è un generatore $ \bmod\; p^n $, per qualche $ n \in \mathbb{N}_0 $, allora $ g $ è pure un generatore $ \bmod\; p $.
Dim.: per assurdo! Ricalca bene o male la precedente.
Lm #3: se $ p\in \mathfrak{P} $; $ g\in\mathbb{Z} $ è un generatore $ \bmod\; p^n $, per qualche intero $ n \geq 2 $, allora $ v_p(g^{p-1} - 1) = 1 $.
Dim.: segue dal lemma #1.
La risposta al quesito di moebius è chiaramente affermativa (Dio benedica ogni lemma).
Qui come altrove, $ v_p(\cdot) $ denota la valutazione $ p $-adica dell'intero passato per argomento.
