Esercizi(etti) sulle trasformazioni in un piano

[karl]

A)Due giocatori si trovano attorno ad un tavolo circolare.Ognuno a turno pone
una moneta sul tavolo (le monete sono circolari e tutte eguali) e perde chi
non trova piu' posto per la propria moneta.
Si domanda:
1)Esiste una strategia vincente per chi inizia il gioco?
2)Ammesso che tale strategia esista ,a quali altre forme del tavolo e'
applicabile?

B)Siano:
$ \gamma $ una circonferenza,p un n_ennagono circoscritto
ad essa, $ \sigma $ l'inversione circolare rispetto a $ \gamma $.
Cacolare la lunghezza del contorno di $ \sigma (p) $.

[what]

Provo il secondo.
Chiamo AB=l un lato dell' n-agono, che tange $ \gamma $ in T.
Chiamo poi O il centro di gamma e R il suo raggio.
Sia r la retta per AB; allora $ \sigma(r)=\gamma' $, dove $ \gamma' $ è la circonferenza tangente a $ \gamma $ in T e passante per O (va dimostrato o è una proprietà nota dell'inversione?).
Quindi $ \sigma(A)=A',\sigma(B)=B' $ appartengono a $ \gamma' $, e $ \sigma(l) $ è un arco della stessa cfr.
Abbiamo $ \widehat{AOB}=\frac{2\pi}{n}=\frac12 \widehat{A'O'B'} $ (perché angoli al centro e alla circonferenza insistenti sullo stesso arco), da cui $ \widehat{A'O'B'}=\frac{4\pi}n $.
Infine $ \displaystyle \frac{\sigma(l)}{\pi R}=\frac{\frac{4\pi}n}{2\pi} $, da cui si ricava $ \sigma(l)= \frac{2\pi R}n $. Il valore cercato è dunque $ \sigma(l)\cdot n=2\pi R $.

[thematrix]

il primo(prima parte):
il primo giocatore mette una moneta al centro del tavolo.
Ora,covunque il secondo giocatore metta una moneta,il primo giocatore potrà rispondere mettendola nel punto simmetrico rispetto al centro del tavolo.É evidente che,se il secondo giocatore ha potuto muovere,potrà muovere anche il primo.D'altra parte,essendo il tavolo di area finita,prima o poi verrà coperto in modo tale che uno dei due giocatori non potrà più muovere.Questo dovrà per forza essere il secondo,per il motivo descritto sopra.

[Spi]

Beh non ho capito perché hai risolto solo la prima parte, vista la natura della strategia sicuramente è applicabile a tutti e soli i tavoli con una qualsiasi forma simmetrica rispetto a un centro (e tale che c'entri una moneta circolare con il proprio centro coincidente al centro del tavolo). Se non è possibile nemmeno coprire il centro con la prima moneta, la strategia vincente è la stessa e del secondo giocatore.

Una domanda: perché questi problemi iniziano sempre con "se esiste una strategia vincente..."? Tanto penso che lo sappiamo tutti che per un gioco senza parità la strategia vincente esiste sempre! Al massimo è troppo difficile da trovare o non può essere trovata nel caso generico, ma per esistere esiste

[thematrix]

non avevo tempo,stavo per uscire...

[Igor]

@Spi

Per quanto riguarda il secondo punto dell'esercizio A, tu hai scritto

...vista la natura della strategia, essa è applicabile a tutti e soli i tavoli con una qualsiasi forma simmetrica rispetto al centro...

Hai escluso a priori che non esistano altre strategie valide.Potrebbe infatti esistere una strategia più generale che sia applicabile a diverse figure, e che nel caso di quelle simmetriche rispetto al centro si riduce a quella di thematrix.Forse è banale dimostrare che tale strategia non esiste, ma a me non viene in mente niente.

Fatemi sapere cosa ne pensate.

[Marco]

Una domanda: perché questi problemi iniziano sempre con "se esiste una strategia vincente..."? Tanto penso che lo sappiamo tutti che per un gioco senza parità la strategia vincente esiste sempre!

Beh, intanto, il gioco deve finire. Se prendi come tavolo tutto il piano, senz'altro c'è simmetria centrale e il primo giocatore è in grado di piazzare una moneta sul centro. Ma non è in grado di vincere...

Anche se aggiungi l'ipotesi di tavolo con superficie finita (qualunque cosa ciò voglia dire...), la dimostrazione naif di esistenza della strategia ottimale si basa in modo sostanziale che il grafo delle posizioni sia finito (o alla peggio, numerabile). Nel caso di figure geometriche generiche, lo spazio delle posizioni di gioco ha la cardinalità dei reali (direi; qualche teorico degli insiemi per cortesia confermi...) e quindi non puoi usare l'induzione per coprire tutti i casi.

[Marco]

Potrebbe infatti esistere una strategia più generale che sia applicabile a diverse figure, e che nel caso di quelle simmetriche rispetto al centro si riduce a quella di thematrix.

Non è detto. Il famoso teorema, anche per un gioco finito, ci garantisce che esiste una strategia ottimale (nel senso di almeno una, non di soltanto una). La strategia di giocare simmetrico è valida (ed è probabilmente l'unica elementare che vada bene per tavoli di qualunque raggio). Ma non è detto sia l'unica: se prendi una moneta di raggio 1 e un tavolo di raggio 1,5, il primo giocatore vince sempre, a prescindere da come giochi, perché sul tavolo due monete non ci stanno...

In effetti, Spi non ha scritto che i tavoli vincenti per il Bianco sono tutti e soli quelli simmetrici in cui si può giocare sul centro, ma che la strategia si può applicare solo a quelli . (appunto: non significa che altre strategie esistano e siano vincenti per il Bianco). Esempio: prendi un tavolo non simmetrico, ma che possa contenere una sola moneta (un tavolo a goccia, ad esempio). Oppure: un tavolo senza simmetria centrale, con un asse di simmetria che può essere ricoperto con una sola moneta (Bianco gioca sull'asse, poi esegue mosse con simmetria assiale).

Oppure: un tavolo con tre componenti connesse, una che può contenere solo una moneta e le altre due congruenti (gioca sul tavolo piccolo, poi copia le mosse del Nero sull'altro tavolo). Ecc...