Il teorema dei quattro numeri
Il teorema dei quattro numeri
Four number theorem: siano $ a, b, c, d \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ ab = cd $. Provare ch'esistono allora quattro altri interi positivi $ p, q, r $ ed $ s $ tali che $ a = pq $, $ b = rs $, $ c = pr $ e $ d = sq $.
Tutte le variabili introdotte sono interi positivi.
Per l'uguaglianza $ ab=cd $ per forza avremo che "un pò" dei fattori primi di $ a $ sono da una parte e un pò" dall'altra (eventualmente da una parte l'insieme può essere vuoto, in tal caso avremo solo il fattore 1). La stessa cosa vale per $ b $ quindi possiamo porre:
$ c=a'b'k $
$ d=a''b''j $
con
$ a=a'a'' $
$ b=b'b'' $
avremo che $ kj=1 $, quindi $ k=j=1 $.
Quindi si avrà
$ a=a'a'' $
$ b=b'b'' $
$ c=a'b' $
$ d=a''b'' $
Per l'uguaglianza $ ab=cd $ per forza avremo che "un pò" dei fattori primi di $ a $ sono da una parte e un pò" dall'altra (eventualmente da una parte l'insieme può essere vuoto, in tal caso avremo solo il fattore 1). La stessa cosa vale per $ b $ quindi possiamo porre:
$ c=a'b'k $
$ d=a''b''j $
con
$ a=a'a'' $
$ b=b'b'' $
avremo che $ kj=1 $, quindi $ k=j=1 $.
Quindi si avrà
$ a=a'a'' $
$ b=b'b'' $
$ c=a'b' $
$ d=a''b'' $
Ultima modifica di Boll il 23 ago 2005, 10:47, modificato 1 volta in totale.
A parte l'estrema incompetenza grammaticale... Già l'esordio non va bene! Dove sta mai scritto che $ a, b, c, d $ debbano essere a due a due distinti?Boll ha scritto:Poichè $ a,b,c,d $ sono tutti distinti, per forza avremo che "un pò" dei fattori primi di $ a $ sono da una parte e un pò" dall'altra (eventualmente da una parte l'insieme può essere vuoto, in tal caso avremo solo il fattore 1).
E poi ti pare quello il modo di esprimersi? "Un po' di qua, un po' di là"... Ma ti pare forse un problema di fisica?! 
Baaah... Su, Bollazzo, impegnati, che diamine! Lo sappiamo tutti e due che puoi fare di molto meglio...Soluzione per Euler
Vediamo se scritto così ti aggrada di più.
Tutte le variabili introdotte sono interi positivi. Siano, in coerenza con il Th Fondamentale dell'Aritmetica $ a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i} $
$ b=\prod_{i=1}^{j}r_i^{f_i} $. Siano ora $ A_c=\{p^{e_m}: e_m=\max\{i: p_i^{i}|c\}\}+\{1\} $, $ B_c=\{q^{f_m}: f_m=\max\{i: q_i^{i}|c\}\}+\{1\} $,$ A_d=\{p^{e_n}: e_n=\max\{i: p_i^{i}|d\}\}+\{1\} $,$ B_d=\{p^{f_n}: f_n=\max\{i: q_i^{i}|d\}\}+\{1\} $. Per costruzione $ c=\prod_{i\in A_c\cup B_c}i*k $, $ d=\prod_{i\in A_b\cup B_b}i*j $, ma $ ab=\prod_{i\in B_c\cup B_d\cup A_c\cup A_d}i $ quindi $ kj=1 $ e $ k=j=1 $ Concludendo $ a=\prod_{i\in A_c}i*\prod_{i\in A_d} i $, $ b=\prod_{i\in B_c}i*\prod_{i\in B_d} i $, $ c=\prod_{i\in A_c}i*\prod_{i\in B_c} i $, $ d=\prod_{i\in A_d}i*\prod_{i\in B_d} i $
Tutte le variabili introdotte sono interi positivi. Siano, in coerenza con il Th Fondamentale dell'Aritmetica $ a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i} $
$ b=\prod_{i=1}^{j}r_i^{f_i} $. Siano ora $ A_c=\{p^{e_m}: e_m=\max\{i: p_i^{i}|c\}\}+\{1\} $, $ B_c=\{q^{f_m}: f_m=\max\{i: q_i^{i}|c\}\}+\{1\} $,$ A_d=\{p^{e_n}: e_n=\max\{i: p_i^{i}|d\}\}+\{1\} $,$ B_d=\{p^{f_n}: f_n=\max\{i: q_i^{i}|d\}\}+\{1\} $. Per costruzione $ c=\prod_{i\in A_c\cup B_c}i*k $, $ d=\prod_{i\in A_b\cup B_b}i*j $, ma $ ab=\prod_{i\in B_c\cup B_d\cup A_c\cup A_d}i $ quindi $ kj=1 $ e $ k=j=1 $ Concludendo $ a=\prod_{i\in A_c}i*\prod_{i\in A_d} i $, $ b=\prod_{i\in B_c}i*\prod_{i\in B_d} i $, $ c=\prod_{i\in A_c}i*\prod_{i\in B_c} i $, $ d=\prod_{i\in A_d}i*\prod_{i\in B_d} i $
A parte i tuoi ripetuti pasticci notazionali (btw, notare come $ r_i $ muti magicamente in $ q_i $ nel volgere di meno d'un rigo), sai che c'è di bello e curioso? Che il teorema dei quattro numeri viene giust'appunto utilizzato per dimostrare il teorema fondamentale dell'Aritmetica (vedi Erdos-Suranyi, "Topics in the Theory of Number", libro ecceziUnalO, imho). Sicché rilancio...Boll ha scritto:[...] in coerenza con il Th Fondamentale dell'Aritmetica $ a=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i} $ e $ b=\prod_{i=1}^{j}r_i^{f_i} $.
Siano ora $ A_c=\{p^{e_m}: e_m=\max\{i: p_i^{i}|c\}\}+\{1\} $ e $ B_c=\{q^{f_m}: f_m=\max\{i: q_i^{i}|c\}\}+\{1\} $ [...]
Problema: dimostrare il teorema dei quattro numeri, senza sfruttare l'unicità della fattorizzazione in primi.