phi(n) a confronto con phi(n - phi(n))

[HiTLeuLeR]

Riprendo qui un problema di Erdos recentemente proposto dal sottoscritto in questo stesso subforum e risolto in quattro e quattr'otto dal nostro Simo_the_wolf (click), per proporvi i risultati (per lo più banali) delle mie personalissime ricerche in proposito.

Problema #1: mostrare ch'esistono infiniti interi $ n > 1 $ tali che i) $ \varphi(n - \varphi(n)) < \varphi(n) $; ii) $ \varphi(n - \varphi(n)) = \varphi(n) $.

Problema #2: mostrare che, se $ n $ è un intero $ > 2 $ tale che $ \varphi(n - \varphi(n)) = \varphi(n) $, allora $ n $ possiede almeno due fattori primi distinti.

Problema #3: provare che, se $ n $ è un intero $ > 2 $ e $ \varphi(n - \varphi(n)) = \varphi(n) $, allora $ n \equiv 0 \bmod 6 $.

[ReKaio]

Problema #2: mostrare che, se $ n $ è un intero $ > 2 $ tale che $ \varphi(n - \varphi(n)) = \varphi(n) $, allora $ n $ possiede almeno due fattori primi distinti.

supponiamo per assurdo che $ n $ abbia un solo fattore primo, allora $ n=p^k $

se $ n=p $ primo:

$ \varphi(p-p+1) = \varphi(p) $

$ \varphi(1) = p-1 $ da cui $ p=2 $ che è fuori dal range in cui cerchiamo le soluzioni.

se invece $ k>1 $

sostituendo in $ \varphi(n - \varphi(n)) = \varphi(n) $

$ \varphi(p^{k-1}) = p^{k-1}(p-1) $

$ p^{k-2}(p-1) = p^{k-1}(p-1) $

chiaramente un assurdo, quindi $ n $ ha almeno due fattori primi distinti.

[HiTLeuLeR]

Esattamente, Kappa.

[Poliwhirl]

Problema #1: mostrare ch'esistono infiniti interi $ n > 1 $ tali che i) $ \varphi(n - \varphi(n)) < \varphi(n) $; ii) $ \varphi(n - \varphi(n)) = \varphi(n) $.

i) La tesi è vera per ogni primo naturale $ \displaystyle p>2 $, infatti, ricordando che $ \displaystyle\varphi(p)=p-1 $ (poiché $ \displaystyle p\in\mathfrak{P} $), abbiamo: $ \displaystyle\varphi(p-\varphi(p))-\varphi(p)=\varphi(p-(p-1))-(p-1)= $
$ \displaystyle =\varphi(1)-p+1=2-p<0 $ per ogni $ \displaystyle p>2 $ c.v.d..

ii) Per ogni $ \displaystyle n=2^a*3 $, con $ \displaystyle a\in\mathbb{N^{*}} $, l'uguaglianza sussiste, infatti: $ \displaystyle\varphi(2^{a}*3-\varphi(2^{a}*3))-\varphi(2^{a}*3)=\varphi(2^{a}*3-2^{a})-2^{a}= $
$ \displaystyle =\varphi(2^{a+1})-2^{a}=2^{a}-2^{a}=0 $; così la tesi è soddisfatta.

Bye,
#Poliwhirl#

[HiTLeuLeR]

Ok, whirly, è tutto coretto, ma... è sul terzo che ci dimostrerai il tuo valore! I primi due, come l'altro di Erdos risolto da Simo_the_wolf (btw, Paul mi perdoni per questo, ma il suo problema è una vera cag**a!!!), si direbbero a dir poco banali... Dunque rimettiti all'opera.