Irish Diofantea 1997

[Poliwhirl]

Find all integer solutions to $ \displaystyle 1 + 1996m + 1998n = mn $.

Traduzione:

Trovare tutte le soluzioni intere della seguente: $ \displaystyle 1 + 1996m + 1998n = mn $.

Bye,
#Poliwhirl#

[HiTLeuLeR]

A seguito di opportuni riarrangiamenti, l'equazione proposta si riscrive nella forma equivalente $ 1997(m+n) = (m-1)(n+1) $. Posto $ m = u+1 $ ed $ n = v-1 $, il problema è così ricondotto alla risoluzione della diofantea $ 1997(u+v) = uv $. Senonché $ 1997 $ è primo in $ \mathbb{Z} $, e quindi a forza $ 1997 \mid u $ oppure $ 1997 \mid v $. Viste le simmetrie del problema, possiamo pertanto ammettere per il seguito $ u = 1997k $, e permutare le soluzioni così ottenute, per ricavare infine l'insieme $ \mathcal{S} $ di *tutte* le soluzioni possibili.

Ora, coerentemente con l'assunzione di cui sopra, s'impone $ 1997k + v = kv $, e quindi $ 1997k = (k-1)v $. Donde necessariamente $ k-1 = \pm 1 $ oppure $ k-1 = \pm 1997 $, ché $ \gcd(k,k-1) = 1 $. Da qui $ k = v = 0 $, ossia $ u = v = 0 $; oppure $ k = 2 $ e $ v = 2 \cdot 1997 $, cioè $ u = v = 2 \cdot 1997 $; o ancora $ k = 1998 $ e $ v = 1998 $, e perciò $ u = 1997 \cdot 1998 $; o infine $ k = -1996 $ e $ v = 1996 $, da cui $ u = -1996 \cdot 1997 $.

Operando le permutazioni del caso, ne viene che le soluzioni al problema proposto appartengono tutte e sole all'insieme $ \mathcal{S}_1 = \{(1,-1), (2\cdot 1997 + 1, 2\cdot 1997 - 1), $ $ (1997 \cdot 1998 + 1, 1997), (-1996 \cdot 1997 + 1, 1995)\} $, o ad $ \mathcal{S}_2 = \{(1999, 1997 \cdot 1998 - 1),(1997, -1996 \cdot 1997 - 1)\} $. Sicché $ \mathcal{S} = \mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2 $.

[Simo_the_wolf]

Riscriviamo al diofantea come:
$ (m-1998)(n-1996)=1996*1998+1=1997^2-1+1=1997^2 $
Ora ci siamo ridotti al problema di fattorizzare $ 1997^2 $.
Essendo $ 1997 $ primo le soluzioni quindi saranno:
$ (m-1998,n-1996) $ --> $ (m,n) $

$ (1997^2,1) $ --> $ (1997^2+1998,1997) $
$ (-1997^2,-1) $ --> $ (-1997^2+1998,1995) $
$ (1,1997^2) $ --> $ (1999,1997^2+1996) $
$ (-1,-1997^2) $ --> $ (1997,-1997^2+1996) $
$ (1997,1997) $ --> $ (3995,3993) $
$ (-1997,-1997) $ --> $ (1,-1) $

@ Hit: attenzione che quando devi trovare le altre soluzioni devi permutare le coppie $ (u,v) $ e non le coppie $ (m,n) $

[HiTLeuLeR]

@ Hit: attenzione che quando devi trovare le altre soluzioni devi permutare le coppie $ (u,v) $ e non le coppie $ (m,n) $

Sì, vero... Diciamo pure che alle 3:00 del mattino, con mezzo litro di vodka alla pesca sullo stomaco, non è che si possa pretendere da se stessi la dovuta lucidità, ecco...