Giusto per citare le fonti, sappiate che il problema porta la firma di Paul Erdos.Per gli "smanettoni": phi(n - phi(n)) > phi(n)
Per gli "smanettoni": phi(n - phi(n)) > phi(n)
Problema: mostrare ch'esistono infiniti interi $ n \geq 2 $ tali che $ \varphi(n - \varphi(n)) > \varphi(n) $.
Giusto per citare le fonti, sappiate che il problema porta la firma di Paul Erdos.
Giusto per citare le fonti, sappiate che il problema porta la firma di Paul Erdos.-
Simo_the_wolf
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Dobbiamo cercare di minimizzare la phi del numero. Per minimizzarla abbiamo bisogno di molti primi e vediamo che gia' il numero $ 30=2*3*5 $ funziona in quanto $ \phi(30-\phi(30))=\phi(30-8)=\phi(22)=10>\phi(30)=8 $.
Ora abbiamo che se $ p|n $ allora $ \phi(pn)=p\phi(n) $ in quanto i numeri primi con n si ripeteranno con periodo p (essendo gia' incluso nella fattorizzazione non esclude alcun numero tra quelli primi con n).
Quindi abbiamo che, per $ a\geq 1 $:
$ 2^{a-1}\phi(30-\phi(30))>2^{a-1}\phi(30) $
E siccome il 2 compare sia nella fattorizazione di 30 sia in quella di 22 abbiamo che:
$ \phi(2^a*15-\phi(2^a*15))>\phi(2^a*15) $
Quindi tutti gli n della forma $ n=2^a*15 $ con $ a\geq 1 $ soddisfano ma questi ne sono infiniti quindi la tesi e' provata.
Byez!
Ora abbiamo che se $ p|n $ allora $ \phi(pn)=p\phi(n) $ in quanto i numeri primi con n si ripeteranno con periodo p (essendo gia' incluso nella fattorizzazione non esclude alcun numero tra quelli primi con n).
Quindi abbiamo che, per $ a\geq 1 $:
$ 2^{a-1}\phi(30-\phi(30))>2^{a-1}\phi(30) $
E siccome il 2 compare sia nella fattorizazione di 30 sia in quella di 22 abbiamo che:
$ \phi(2^a*15-\phi(2^a*15))>\phi(2^a*15) $
Quindi tutti gli n della forma $ n=2^a*15 $ con $ a\geq 1 $ soddisfano ma questi ne sono infiniti quindi la tesi e' provata.
Byez!