Concorrenza insolita

[Boll]

Nel triangolo $ ABC $, $ AD $ è un altezza, $ BE $ una bisettrice e $ CF $ una mediana. Chiamando, al solito $ a,b,c $ i lati opposti ad $ A,B,C $, si provi che le tre rette concorrono se e solo se $ a^2(a-c)=(b^2-c^2)(a+c) $

[karl]

Con qualche calcolo si trova che :
$ AF=FB=\displaystyle\frac {c}{2} $; $ \displaystyle BD=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a} $; $ \displaystyle DC= \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} $;
$ \displaystyle CE = \frac{ab}{a+c} $; $ \displaystyle EA= \frac{bc}{a+c} $;
a)Se le tre ceviane concorrono allora per CEVA (appunto!) deve essere:
AF/FB*BD/DC*CE/EA=1
ovvero ( con qualche semplificazione):
$ \displaystyle \frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2} $ da cui scomponendo e componendo:
$ \displaystyle \frac{a-c}{a+c}=\frac{b^2-c^2}{a^2} $
e quindi:
$ \diasplaystyle a^2(a-c)=(a+c)(b^2-c^2) $
b)Viceversa se e' valida l'ultima relazione ,procedendo a ritroso nei calcoli
precedenti,si giunge alla relazione:AF/FB*BD/DC*CE/EA=1 e cio',per l'inverso
di Ceva,prova che le 3 ceviane concorrono.

[Boll]

Sì, ok, karl, ma visto che l'idea di applicare Ceva in un problema di concorrenza è più o meno la prima che viene a tutti (o almeno credo), la "difficoltà" del problema sta appunto nel fare qualche calcolo come dici tu. Ti spiacerebbe, a beneficio di tutti, esplicitarli?

[karl]

1)Poiche' CF e' la mediana risulta AF=FB=AB/2=c/2;
2) Per il teorema della bisettrice (interna) applicato a BE e':
$ CE:EA=a:c $ da cui componendo risulta:
$ \displaystyle (CE+EA):CE=(a+c):a $ e quindi $ \displaystyle CE=\frac{ab}{a+c} $. Pertanto:$ \displaystyle AE=AC-CE =b-\frac{ab}{a+c}=\frac{bc}{a+c} $.
3)Poniamo BD=x e DC=BC-BD=a-x.Dai triangoli rettangoli ABD e ADC
ricaviamo:
$ AD^2=AB^2-BD^2 =c^2-x^2 $ ; $ AD^2=AC^2-CD^2 =b^2-(a-x)^2 $ .
Eguagliando si ha l'equazione:
$ c^2-x^2=b^2-(a-x)^2 $ da cui :$ \displaystyle BD=x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a} $
Pertanto:$ \displaystyle DC=a-x=a-\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a} $
Sostituendo si ha il resto.....