siano $ x_1, x_2, ..., x_n $ reali non-negativi tali che $ \displaystyle\sum x_i = \pi $.
trovare le migliori costanti $ m $ e $ M $ tali che $ \displaystyle m\le \sum \sin^2 x_i \le M $.
ISL 1983 (o 1985?)
Per comodità di scrittura uso i gradi anzichè i radianti
Il valore minimo è m = 0: non si può scendere al di sotto perché nessun addendo è negativo e lo si può raggiungere per ogni n, scegliendo per una x il valore 180° e per le altre 0°.
Per n = 1, l’unica scelta possibile è x = 180° per cui M = 0.
Per n = 2 il massimo si avrà ovviamente quando entrambi i termini sono massimi; è quindi M = 2, raggiungibile quando entrambe le x valgono 90°.
Dimostriamo ora che lo stesso risultato vale per n > 2. Supponiamo di aver ordinato le x in scala decrescente e di aver scelto nel miglior modo possibile i primi n-2 valori, la cui somma è 180°-2a; dobbiamo determinare gli ultimi due valori, che chiameremo x e y (con x ≥ y), in modo che la loro somma sia 2a e la somma dei quadrati dei loro seni sia massima. Posto 2b = x-y, si ha
(sen x)^2 + /sen y)^2 = (1-cos 2x + 1-cox 2y)/2 = 1 – cos a cos b
Poiché 0° ≤ a < 90°, cos a > 0 ; quindi il massimo si ha quando b è massimo, cioè x = 2a e y = 0: in altre parole, l’ultimo termine deve essere 0 e può essere escluso da ogni considerazione. Siamo quindi ricondotti a ricercare il massimo in un insieme di n-1 valori di x; ripetendo il precedente ragionamento si conclude che tutte le x più basse devono valere 0° e (quando si giunge a n=2) le due più alte sono di 90°.
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Il valore minimo è m = 0: non si può scendere al di sotto perché nessun addendo è negativo e lo si può raggiungere per ogni n, scegliendo per una x il valore 180° e per le altre 0°.
Per n = 1, l’unica scelta possibile è x = 180° per cui M = 0.
Per n = 2 il massimo si avrà ovviamente quando entrambi i termini sono massimi; è quindi M = 2, raggiungibile quando entrambe le x valgono 90°.
Dimostriamo ora che lo stesso risultato vale per n > 2. Supponiamo di aver ordinato le x in scala decrescente e di aver scelto nel miglior modo possibile i primi n-2 valori, la cui somma è 180°-2a; dobbiamo determinare gli ultimi due valori, che chiameremo x e y (con x ≥ y), in modo che la loro somma sia 2a e la somma dei quadrati dei loro seni sia massima. Posto 2b = x-y, si ha
(sen x)^2 + /sen y)^2 = (1-cos 2x + 1-cox 2y)/2 = 1 – cos a cos b
Poiché 0° ≤ a < 90°, cos a > 0 ; quindi il massimo si ha quando b è massimo, cioè x = 2a e y = 0: in altre parole, l’ultimo termine deve essere 0 e può essere escluso da ogni considerazione. Siamo quindi ricondotti a ricercare il massimo in un insieme di n-1 valori di x; ripetendo il precedente ragionamento si conclude che tutte le x più basse devono valere 0° e (quando si giunge a n=2) le due più alte sono di 90°.
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