Consideriamo il polinomio
$ 1-x+x^2-\ldots-x^{17} $
Possiamo riscriverlo come polinomio in y=x+1.
Quanto vale allora il coefficiente di $ y^2 $?
E se al posto di 17 ci fosse stato n ?
Polinomio mutato
Direi di no :
$ z^3+3z^2-2z+1 : z^2 = z + 3 + \frac{-2z+1}{z^2} $
Il resto è $ -2z+1 $ che mi sembra ben diverso da 3 ...
E comunque, vorrei dare un consiglio a carattere generale :
se volete postare una soluzione a un problema, scrivetela per intero, con precisione e fino in fondo, senza saltare parti necessarie solo perchè vi risultano noiose; se per voi la soluzione è troppo facile e quindi vorreste glissare dicendo semplicemente "si fa così (e i conti li faccia un altro)" allora evitate di postare.
$ z^3+3z^2-2z+1 : z^2 = z + 3 + \frac{-2z+1}{z^2} $
Il resto è $ -2z+1 $ che mi sembra ben diverso da 3 ...
E comunque, vorrei dare un consiglio a carattere generale :
se volete postare una soluzione a un problema, scrivetela per intero, con precisione e fino in fondo, senza saltare parti necessarie solo perchè vi risultano noiose; se per voi la soluzione è troppo facile e quindi vorreste glissare dicendo semplicemente "si fa così (e i conti li faccia un altro)" allora evitate di postare.
Ragionando in generale (anche se in modo del tutto elementare) si ha quanto segue.
Sia : $ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n $
Ponendo x=y+a e scrivendo per comodita' lo sviluppo in verticale si ha:
(indico con $ C_{n,k} $ l'ordinario coeff.bin.)
P(y+a)=$ a_0 $+
----------$ C_{1,0}a_1y+C_{1,1}a_1a $+
----------$ C_{2,0}a_2y^2+C_{2,1}a_2ay+C_{2,2}a_2a^2 $+
----------$ C_{3,0}a_3y^3+C_{3,1}a_3ay^2+C_{3,2}a_3a^2y+C_{3,3}a_3a^3+\dots \dots\dots $+
----------$ C_{n,0}a_ny^n+C_{n,1}a_nay^{n-1} $+$ \dots+C_{n,n-2}a_na^{n-2}y^2+C_{n,n-1}a_na^{n-1}y+C_{n,n}a_na^n $
Pertanto il richiesto coeff. S di $ y^2 $ e':
$ S=C_{2,0}a_2+C_{3,1}a_3a+C_{4,2}a_4a^2+\dots\dots+C_{n,n-2}a_na^{n-2} $
Nel caso nostro e' a=-1,$ a_i=(-1)^i $ e quindi, osservando che comunque si scelga i il prodotto $ a_ia^{i-2} $ e' uguale ad 1,segue:
$ S=C_{2,0}+C_{3,1}+C_{4,2}+C_{5,3}+\dots\dots+C_{n,n-2} $
Con qualche trasformazione risulta:
$ S=\frac{1+1}{2}*1+\frac{1+2}{2}*2+\frac{1+3}{2}*3+\frac{1+4}{2}*4+\dots\dots+\frac{1+n-1}{2}*(n-1) $
Od anche:
$ S=\frac{1}{2}*{[(1+2+3+\dots+n-1)+(1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2)]} $
e per note formule:
$ S=\frac{1}{2}*{[\frac{n(n-1)}{2}+\frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}]}=\frac{n(n-1)(n+1)}{6} $
P.S.
Per giustificare il terz'ultimo passaggio e' sufficiente osservare che :
$ C_{n,n-2}=C_{n,2}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1+n-1}{2}*(n-1) $
Sia : $ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n $
Ponendo x=y+a e scrivendo per comodita' lo sviluppo in verticale si ha:
(indico con $ C_{n,k} $ l'ordinario coeff.bin.)
P(y+a)=$ a_0 $+
----------$ C_{1,0}a_1y+C_{1,1}a_1a $+
----------$ C_{2,0}a_2y^2+C_{2,1}a_2ay+C_{2,2}a_2a^2 $+
----------$ C_{3,0}a_3y^3+C_{3,1}a_3ay^2+C_{3,2}a_3a^2y+C_{3,3}a_3a^3+\dots \dots\dots $+
----------$ C_{n,0}a_ny^n+C_{n,1}a_nay^{n-1} $+$ \dots+C_{n,n-2}a_na^{n-2}y^2+C_{n,n-1}a_na^{n-1}y+C_{n,n}a_na^n $
Pertanto il richiesto coeff. S di $ y^2 $ e':
$ S=C_{2,0}a_2+C_{3,1}a_3a+C_{4,2}a_4a^2+\dots\dots+C_{n,n-2}a_na^{n-2} $
Nel caso nostro e' a=-1,$ a_i=(-1)^i $ e quindi, osservando che comunque si scelga i il prodotto $ a_ia^{i-2} $ e' uguale ad 1,segue:
$ S=C_{2,0}+C_{3,1}+C_{4,2}+C_{5,3}+\dots\dots+C_{n,n-2} $
Con qualche trasformazione risulta:
$ S=\frac{1+1}{2}*1+\frac{1+2}{2}*2+\frac{1+3}{2}*3+\frac{1+4}{2}*4+\dots\dots+\frac{1+n-1}{2}*(n-1) $
Od anche:
$ S=\frac{1}{2}*{[(1+2+3+\dots+n-1)+(1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2)]} $
e per note formule:
$ S=\frac{1}{2}*{[\frac{n(n-1)}{2}+\frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}]}=\frac{n(n-1)(n+1)}{6} $
P.S.
Per giustificare il terz'ultimo passaggio e' sufficiente osservare che :
$ C_{n,n-2}=C_{n,2}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1+n-1}{2}*(n-1) $
Re: Polinomio mutato
Riscriviamo il polinomio come $ 1-(y-1)+(y-1)^2-\ldots-(y-1)^{17} $
come è noto $ (y-1)^n=\sum_{i=0}^{n}{ n \choose i }(-1)^{i}y^{n-i} $, il coefficiente del termine di secondo grado di conseguenza è $ { n \choose n-2 } $ (con segno positivo se n è pari e con segno negativo se n è dispari, a questo proposito si noti che nel polinomio tutti i termini di secondo grado saranno positivi), dunque nel polinomio il coefficiente sarà dato da $ \sum_{i=2}^{n}{ i \choose i-2 }=\sum_{i=2}^{n}{\frac{i(i-1)}{2}}=\frac{n(n-1)(n+1)}{6} $
Per n=17 si ottiene 816
[EDIT] Ecco, se non ci mettessi 1 ora a scrivere 3 formule col $ \LaTeX $ probabilmente mi sarei accorto della soluzione di Karl ...
come è noto $ (y-1)^n=\sum_{i=0}^{n}{ n \choose i }(-1)^{i}y^{n-i} $, il coefficiente del termine di secondo grado di conseguenza è $ { n \choose n-2 } $ (con segno positivo se n è pari e con segno negativo se n è dispari, a questo proposito si noti che nel polinomio tutti i termini di secondo grado saranno positivi), dunque nel polinomio il coefficiente sarà dato da $ \sum_{i=2}^{n}{ i \choose i-2 }=\sum_{i=2}^{n}{\frac{i(i-1)}{2}}=\frac{n(n-1)(n+1)}{6} $
Per n=17 si ottiene 816
[EDIT] Ecco, se non ci mettessi 1 ora a scrivere 3 formule col $ \LaTeX $ probabilmente mi sarei accorto della soluzione di Karl ...
Sinceramente pure io avrei fatto come Lafforgue, ci dai un hint per la via + facile?
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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HumanTorch
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Una caratteristica a cui ho pensato ieri sera, ma di cui non sono sicuro: il polinomio è $ \displaystyle\frac{x^{18}-1}{-1-x} $, praticamente possiamo sfruttare il polinomio simile $ 1-z+z^2-z^3..-z^{17} $, dove $ z=-x=-y+1 $, e i coefficenti nel triangolo di Tartaglia sono simmetrici..c'entra qualcosa?
PS. Il problema mi ricorda non so perchè il teorema del resto e i cambi di base..boh
edit: forse così va meglio
PS. Il problema mi ricorda non so perchè il teorema del resto e i cambi di base..boh
edit: forse così va meglio
Ultima modifica di HumanTorch il 20 lug 2005, 22:11, modificato 3 volte in totale.
$ 1-x+x^2-x^3+\ldots -x^{17}=(1-x)(1+x^2+x^4+\ldots+x^{16}) $
Poniamo $ t=x^2 $
$ (1-x)(1+x^2+x^4+\ldots+x^{16})=(1-x)(1+t+t^2+\ldots +t^8) $
$ \displaystyle =(1-x)\frac{t^9-1}{t-1}\displaystyle $
$ \displaystyle =(1-x)\frac{x^{18}-1}{x^2-1}=-\frac{x^{18}-1}{x+1}\displaystyle $
Sostituendo $ x=y-1 $ troviamo
$ \displaystyle\frac{(y-1)^{18}-1}{y}\displaystyle $
Da qui si vede chiaramente qual'è il coefficiente della $ y^2 $, che è uguale
al coefficiente di terzo grado di $ (y-1)^2 $, cioè $ 18\choose {15} $=$ 816 $
Poniamo $ t=x^2 $
$ (1-x)(1+x^2+x^4+\ldots+x^{16})=(1-x)(1+t+t^2+\ldots +t^8) $
$ \displaystyle =(1-x)\frac{t^9-1}{t-1}\displaystyle $
$ \displaystyle =(1-x)\frac{x^{18}-1}{x^2-1}=-\frac{x^{18}-1}{x+1}\displaystyle $
Sostituendo $ x=y-1 $ troviamo
$ \displaystyle\frac{(y-1)^{18}-1}{y}\displaystyle $
Da qui si vede chiaramente qual'è il coefficiente della $ y^2 $, che è uguale
al coefficiente di terzo grado di $ (y-1)^2 $, cioè $ 18\choose {15} $=$ 816 $
