Sia $ F $ l'insieme di funzioni tali che:
$ g\in F\Leftrightarrow g:\ \mathbb{N}\longmapsto\mathbb{R}\ \ e\ \ g(n+2)g(n)=1+g(n+1) $
Calcolare $ \displaystyle\underbrace{f\circ \ldots \circ f}_{2005\ volte}(\underbrace{2005\ldots2005}_{2005\ volte}) $ ove $ f\in F\ \ e\ \ f(2005)=1\ \ e\ \ f\circ f(20052005)=2 $.
P.S. Se v'interessa $ 2005=5\cdot401 $. Riarrangiamento personale di un vecchio problema, credo irlandese, enjoy yourself.
Funzionale (quasi fatta in casa) valida per il 2005
- psion_metacreativo
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Dimostriamo innanzitutto che $ f(n) $ è periodica di periodo 5.
Dalla relazione
$ f(n+2)f(n)=1+f(n+1) $ ricaviamo
$ \displaystyle f(n+2)=\frac{f(n+1)+1}{f(n)}\displaystyle $
Poniamo
$ f(0)=a $
$ f(1)=b $
Avremo che:
$ \displaystyle f(2)=\frac{b+1}{a}\displaystyle $
$ \displaystyle f(3)=\frac{a+b+1}{ab}\displaystyle $
$ \displaystyle f(4)=\frac{a+1}{b}\displaystyle $
$ f(5)=a $
$ f(6)=b $
$ \displaystyle f(7)=\frac{b+1}{a}\displaystyle $
...
Dunque $ f(n+5)=f(n) $
Ora, da $ f(2005)=1 $, ricaviamo $ f(0)=1 $.
Consideriamo ora l'altra relazione:
$ f(f(20052005))=2\Rightarrow f(f(0))=2\Rightarrow f(1)=2 $
Ora, conoscendo $ f(0) $ ed $ f(1) $, possiamo calcolare ogni valore
assunto dalla funzione.Più precisamente, essa genera il ciclo
$ f(0)=1 $
$ f(1)=2 $
$ f(2)=3 $
$ f(3)=2 $
$ f(4)=1 $
$ f(5)=1 $
...
Ora ci resta da calcolare $ f^{2005}(\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte}) $
Poniamo
$ A=\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte} $
$ f(A)=f(0)=1 $
$ f^2(A)=f(f(A))=f(1)=2 $
$ f^3(A)=f(f^2(A))=f(2)=3 $
$ f^4(A)=f(f^3(A))=f(3)=2 $
$ f^5(A)=f(f^4(A))=f(2)=3 $
...
Più in generale, osserviamo che:
$ f^k(n)=f(f^{k-1}(n)) $, $ f(2)=3 $, $ f(3)=2 $
Poichè $ f^2(A)=2 $, allora, posto $ k\geq 2 $
$ f^k(A)=2 $, se $ k $ è pari
$ f^k(A)=3 $, se $ k $ è dispari
Dunque
$ f^{2005}(\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte})=3 $
*Corretto errore di battitura
**Corretti altri due errori di battitura(speriamo gli ultimi )
Dalla relazione
$ f(n+2)f(n)=1+f(n+1) $ ricaviamo
$ \displaystyle f(n+2)=\frac{f(n+1)+1}{f(n)}\displaystyle $
Poniamo
$ f(0)=a $
$ f(1)=b $
Avremo che:
$ \displaystyle f(2)=\frac{b+1}{a}\displaystyle $
$ \displaystyle f(3)=\frac{a+b+1}{ab}\displaystyle $
$ \displaystyle f(4)=\frac{a+1}{b}\displaystyle $
$ f(5)=a $
$ f(6)=b $
$ \displaystyle f(7)=\frac{b+1}{a}\displaystyle $
...
Dunque $ f(n+5)=f(n) $
Ora, da $ f(2005)=1 $, ricaviamo $ f(0)=1 $.
Consideriamo ora l'altra relazione:
$ f(f(20052005))=2\Rightarrow f(f(0))=2\Rightarrow f(1)=2 $
Ora, conoscendo $ f(0) $ ed $ f(1) $, possiamo calcolare ogni valore
assunto dalla funzione.Più precisamente, essa genera il ciclo
$ f(0)=1 $
$ f(1)=2 $
$ f(2)=3 $
$ f(3)=2 $
$ f(4)=1 $
$ f(5)=1 $
...
Ora ci resta da calcolare $ f^{2005}(\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte}) $
Poniamo
$ A=\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte} $
$ f(A)=f(0)=1 $
$ f^2(A)=f(f(A))=f(1)=2 $
$ f^3(A)=f(f^2(A))=f(2)=3 $
$ f^4(A)=f(f^3(A))=f(3)=2 $
$ f^5(A)=f(f^4(A))=f(2)=3 $
...
Più in generale, osserviamo che:
$ f^k(n)=f(f^{k-1}(n)) $, $ f(2)=3 $, $ f(3)=2 $
Poichè $ f^2(A)=2 $, allora, posto $ k\geq 2 $
$ f^k(A)=2 $, se $ k $ è pari
$ f^k(A)=3 $, se $ k $ è dispari
Dunque
$ f^{2005}(\underbrace{2005\ldots 2005}_{2005\ volte})=3 $
*Corretto errore di battitura
**Corretti altri due errori di battitura(speriamo gli ultimi )
Ultima modifica di Igor il 20 lug 2005, 13:26, modificato 2 volte in totale.
- psion_metacreativo
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Complimenti tutto esatto.
Ultima modifica di psion_metacreativo il 20 lug 2005, 14:22, modificato 7 volte in totale.