TdN: un divisore d'eccezione!

[HiTLeuLeR]

Problema: fissato un numero naturale $ k > 1 $, si dimostri che, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $ tale che $ n $ sia libero da quadrati, esiste un intero positivo $ d \leq n^{1/k} $ per cui $ d \mid n $ e $ \sigma_0(n) \leq (2\sigma_0(d))^k $, ove (come di consueto) si assume $ \sigma_0(t) := \sum_{s | t} 1 $, per ogni $ t\in\mathbb{N}_0 $, la somma intendendosi estesa a tutti e soli i divisori interi positivi di $ t $.