Credo che th_matrix avesse detto ieri sera che è un vecchio preIMO...
cmq stamattina a mente più fresca ho finalmente concluso in due minuti le mie "allegre cevizzazioni"
e questo è quel che è venuto fuori.
EDIT: accidenti, ho considerato E su AB e F su AC; dai, capite lo stesso, vero? Non ho voglia di cambiare tutto... tanto è identico!
Notiamo che AT, poiché su di esso insiste ADT che è retto, è un diametro. Consideriamo i triangoli AET e AFT; sono rettangoli, hanno un lato in comune e un altro angolo congruente (angolo AET=TAF poiché AT bisettrice): perciò sono congruenti, e possiamo dire che AE=AF.
Ora, per il teorema di Ceva, le nostre rette sono concorrenti sse
BD*CF*AE=DC*FA*EB
Semplifichiamo AE e AF. Vogliamo dimostrare che
BD*CF=DC*EB
ovvero che BD/EB=DC/CF
Consideriamo il triangolo DCF; esso è simile a ATC poiché CDF insiste sullo stesso arco di TAC e l'angolo in C è in comune. Quindi possiamo scrivere che DC/CF=AC/TC.
Ora passiamo al triangolo EBT; esso è simile a BTA, infatti EDB è suppl. a EDT, che è suppl. a EAT (insistono su archi complementari), ovvero gli angoli EDB e BAT sono congruenti; l'angolo in B è in comune. Perciò possiamo scrivere BD/EB=AB/BT.
Sostituendo le nuove relazioni nell'uguaglianza che volevamo dimostrare, otteniamo
AB/BT=AC/CT
Ma questo è vero! Infatti AT è bisettrice, e per il teorema della bisettrice essa divide il lato BC in parti proporzionali agli altri due lati.
c.v.d. (o, se preferisci, the_matrix, s.g.o.p.n.!)
A proposito, alla fine ti ho calunniato, the_matrix, era davvero un problema carino!
Spero solo di non aver cannato la dimostrazione...