OliForum Matematico

Ma si sa qualcosa di Cesenatico??? A me che sono stato a casa (per 8 punti..) importava sapere i risultato del Leonardo nella gara a squadre (anche se non è la mia scuola spero abbia vinto ancora).. E sapere quando potrò avere gli esercizi di Cesenatico per allenarmi un po’.. e poi ovviamente spero che tutti i Bresciani (tranne Luca Facchetti che fa la mia scuola e mi sta mucho antipatico anche ma non solo perché ad Archimede gli avevo dato qualche punticino mentre a Febbraio me lo ritrovo davanti a me di 8..) siano andati a medaglia e che abbiano portato a casa almeno un oro e un argento.. dita incrociate.. Grazie a chi rispondera
Buona domenica Simone

Es.1
Sia ABC un triangolo rettangolo, con ipotenusa AC, e sia H il piede dell'altezza condotta da B ad AC. Sapendo che le lunghezze AB,BC e BH costituiscono i lati di un nuovo triangolo rettangolo,determinare i possibili valori di AH/CH.

Es.2
Dimostrare che comunque si prendano 18 numeri interi positivi consecutivi minori o uguali a 2005,ce ne è almeno 1 divisibile per la somma delle sue cifre.

Es.3
In ciascuna delle caselle di una tabella quadrata 4x4 è scritta la cifra 1 o 2. Si sa che la somma delle 9 cifre contenute in ciascuno dei quattro quadrati 3x3 contenuti nella tabella è multipla di 4, mentre la somma di tutte le 16 cifre non è multipla di 4.
Determinare il massimo ed il minimo valore possibile che può assumere la somma di tutte le 16 cifre.

Es.4
Determinare per quali n>=3 è possibile trovare n numeri interi positivi tali che a due a due abbiano almeno un fattore in comune diverso da 1, ma a tre a tre siano primi tra loro.
Se si aggiunge la condizione che tutti i numeri interi siano minori di 5000, qual è il massimo valore di n?

Es.5
Sia h un numero intero e sia a_n la successione definita per ricorrenza nel modo seguente:

a_o=1
a_(n+1)=(a_n)/2 se a_n è pari
a_(n+1)=(a_n)+h se a_n è dispari

(ad esempio, se h=27 si ha a_1=28, a_2=14, a_3=7, a_4=34, a_5=17, a_6=44...)

Per quali valori di h esiste n>0 per cui a_n=1?

Es.6
Siano date nel piano 2 circonferenze y_1 e y_2 di centri A e B rispettivamente, e intersecantesi in due punti C e D. Si supponga che la circonferenza passante per A, B e C intersechi ulteriormente y_1 e y_2 in E e F rispettivamente, e che l'arco EF non contenente C giaccia fuori dai due cerchi delimitati da y_1 e y_2. Dimostrare che l'arco EF non contenente C è bisecato dalla retta CD.




Giro la domanda di enomis a chiunque sappia i risultati della gara a squadre(ma anche di quella individuale).

Ciao a tutti
FRANCESCO

Questo è quello che so:

1° posto: Negro - 42 punti
2° posto: Di Marino - 40 punti
4° posto: Barbieri - 39 punti
8° posto: Lilliu - 33 punti
14° posto: Colombo - 30 punti

Bye,
#Poliwhirl#

un ragazzo che frequenta l'ITIS tra l'altro è arrivato primo... senza nulla voler togliere ma è un pò inusuale!

COMPLIMENTI VIVISSIMI

la gara individuale è stata vinta da un ragazzo di udine, della stessa scuola k ha vinto la gara a squadre.il leonardo se non sbaglio è arrivato terzo, ma io facevo la gara del pubblico e non c'ho fatto caso...

frengo ha scritto: Es.4
Determinare per quali n>=3 è possibile trovare n numeri interi positivi tali che a due a due abbiano almeno un fattore in comune diverso da 1, ma a tre a tre siano primi tra loro.
Se si aggiunge la condizione che tutti i numeri interi siano minori di 5000, qual è il massimo valore di n?

Uh, così come è scritto non capisco bene il problema, innanzitutto:
1) i numeri devono essere tutti distinti?
2) devo metterli in fila e poi dire che a due a due ecc ecc oppure comunque ne prendo due e comunque ne prendo tre?

P.S. Ovviamente complimenti a tutti

nike^^ ha scritto:un ragazzo che frequenta l'ITIS tra l'altro è arrivato primo... senza nulla voler togliere ma è un pò inusuale!

Gabriele Negro frequenta un Liceo Scientifico Tecnologico, solo che è all'interno di un ITI e spesso viene confuso.

COMPLIMENTI!!! (e ALE' UDIN!! )

frengo ha scritto:Es.1
Sia ABC un triangolo rettangolo, con ipotenusa AC, e sia H il piede dell'altezza condotta da B ad AC. Sapendo che le lunghezze AB,BC e BH costituiscono i lati di un nuovo triangolo rettangolo,determinare i possibili valori di AH/CH.

Io, per il (dis)piacere dei puristi, tipo Evariste, l'avrei fatto così.

Il quesito è invariante per isometria-omotetia, quindi posso metterlo in un piano cartesiano con le seguenti condizioni:
$ A\rightarrow (a,0) $
$ B\rightarrow O $
$ C\rightarrow (0,1) $
con $ a\in \mathbb{R}^{+}, a>1 $

Si ricava facilmente che
$ H\equiv\left(\frac{a^2}{a^2+1},\frac{a}{a^2+1}\right) $
$ |AB|=a $
$ |AC|=\sqrt{a^2+1} $
$ |BC|=1 $
$ |CH|=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}} $
$ |AH|=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}} $
Quindi a noi serve $ a^2 $

Ora, per Pitagora, deve valere una delle tre seguenti:
$ \sqrt{a^2+1}=\frac{a}\sqrt{a^2+1}} $
$ \sqrt{a^2+\frac{a^2}{a^2+1}}=1 $
$ \sqrt{\frac{a^2}{a^2+1}+1}=a $

Per le restrizioni su $ a $ e quindi su $ a^2 $ si avrà che l'unica accettabile è $ a^2=\varphi $
Ovviamente, se cambiamo denominazione, avremo che è soluzione anche $ \frac{1}{\varphi} $

Boll ha scritto:

frengo ha scritto: Es.4
Determinare per quali n>=3 è possibile trovare n numeri interi positivi tali che a due a due abbiano almeno un fattore in comune diverso da 1, ma a tre a tre siano primi tra loro.
Se si aggiunge la condizione che tutti i numeri interi siano minori di 5000, qual è il massimo valore di n?

Uh, così come è scritto non capisco bene il problema, innanzitutto:
1) i numeri devono essere tutti distinti?
2) devo metterli in fila e poi dire che a due a due ecc ecc oppure comunque ne prendo due e comunque ne prendo tre?

P.S. Ovviamente complimenti a tutti

Il testo non diceva nient'altro, quindi non c'erano altre restrizioni. Comunque:
1. Se due numeri sono uguali e uno dei due ha un fattore in comune con un terzo numero (tutte le coppie di numeri devono essere non prime tra loro), il fattore sarà in comune anche con il numero uguale al primo, e quindi non sarebbero primi a 3 a 3... quindi deriva che i numeri devono essere distinti, per forza di cose.
2. Comunque ne prendi due devono essere non coprimi, comunque ne prendi tre devono essere coprimi.

P.S. Su questo esercizio ho perso un paio di punti preziosissimi, sarei un po' curioso di sapere la soluzione ufficiale per vedere quanto differiva dalla mia (che era lunga 2 pagine e mezzo ), ma un professore con la scusa di "dargli un'occhiata" mi ha fregato il mio foglio delle soluzioni... vabbè aspetterò che escano in pdf

P.S. Su questo esercizio ho perso un paio di punti preziosissimi, sarei un po' curioso di sapere la soluzione ufficiale per vedere quanto differiva dalla mia (che era lunga 2 pagine e mezzo ), ma un professore con la scusa di "dargli un'occhiata" mi ha fregato il mio foglio delle soluzioni... vabbè aspetterò che escano in pdf

Come già scritto in un altro topic, secondo me sulla seconda parte di questo esercizio sono stati troppo fiscali sui punteggi. Potevano dare un punto alla seconda parte anche solo per la mera soluzione

Io non riesco a capire come si faceva il terzo esercizio... L'ho risolto grossomodo nello stesso modo delle soluzioni proposte, mi sono ovviamente venuti gli stessi risultati delle soluzioni proposte ed ho preso solo 4 punti. Il secondo l'ho risolto con un metodo molto più lungo e macchinoso delle soluzioni che davano loro, ma l'ho risolto interamente e credevo per questo di prendere punteggio pieno, invece di punti ne ho presi 3 . Nel quarto ho capito male il testo (pensavo che "a due a due" volesse dire che i due dovevano essere consecutivi) ed anche se mi è venuto lo stesso risultato ho preso 0 .

Grazie per le informazioni.. mi spiace molto che il Leonardo non sia arrivato primo..
Gli esercizi non mi sembrano difficilissimi anzi sto provando a farli ora e il secondo e il terzo mi sembra d'averli risolti (ragionando sui multipli di 9, su quando la somma delle loro cifre è 9,18 e quando 27 nel secondo e nel terzo trovando i valori min e max che se non sbaglio come mio solito sono 19 e 30 e dimostrando che non ne esistono di meno o di più..)mi chiedo se è OT pubblicare in questa sezione le varie soluzioni? Comunque ora ho altro da fare..qualcuno mi può spiegare perchè devo studiare Latino (tornassi indietro sceglerei anch'io l'itis)???

Poliwhirl ha scritto:Questo è quello che so:

1° posto: Negro - 42 punti
2° posto: Di Marino - 40 punti
4° posto: Barbieri - 39 punti
8° posto: Lilliu - 33 punti
14° posto: Colombo - 30 punti

Bye,
#Poliwhirl#

Ehm...
Come la so io è cosi

1° posto: Negro - 42 punti
2° posto: CAVAZZANI - 40 PUNTI
3° posto: Di Marino - 40 punti
4° posto: Barbieri - 39 punti
5° posto: Attanasio - 36 punti
ecc.

credo proprio che sia così, visto che il secondo sono IO.....

ps SIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!!!!!
SECONDO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ciao a tutti

@ boll: il primo, evitando analitica ecc.,veniva risolto dalle soluzioni (ponendo per simmetria BC>AB) notando che AB=HC (cateti dello stesso triangolo rettangolo) e poi impostando il primo teorema di euclide.

@ spi: ti riporto la mia soluzione(più o meno come me la ricordo) del numero 4 in cui ho preso 7 punti.

1a parte: esistono n numeri con le proprietà del testo per ogni n>2.
DIMOSTRAZIONE
ogni numero primo presente nei nostri numeri è presente nella fattorizzazione di due soli di essi, ed ogni coppia di numeri ha (almeno)un numero primo distinto che è presente solo in quella coppia. Quindi, i numeri primi presenti sono (almeno) il numero delle coppie di numeri, n(n-1)/2.
Definisco un modo per costruirci la nostra n-upla di numeri: scelgo n(n-1)/2 numeri primi distinti, e ne metto uno in ogni coppia distinta di numeri.
es. n=4
a=2*3*5 b=2*7*11 c=3*7*13 d=5*11*13
i numeri primi sono i primi n(n-1)/2=6, [2,3,5,7,11,13]
(avevo fatto anche un disegno carinissimo conm quattro punti e tutti i segmenti che li univano)

2a parte: n=4 è il massimo intero
per l'esempio di n=4 si veda la prima parte.
per dimostrare che per n=5 e superiori non è possibile, vedo che visto che i numeri primi devono essere almeno 5(5-1)/2=10, deve essere presente almeno il decimo numero primo(29) o superiore.
i due numeri che contengono il numero primo 29 devono essere di questa forma:
a=29*a*b*c<5000
b=29*x*y*z<5000
da cui a*b*c*x*y*z<(172)^2
ma ciò non è possibile perchè il prodotto dei primi 6 numeri primi è uguale a 2*3*5*7*11*13=30030, che è maggiore di 172^2=29584.

Dovrebbe essere tipo così, non mi ricordo bene.

ps SIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII!!!!!!!!!!
SECONDOOOOOOOOO!!!!!!!!!!!!!

Ciao a tutti
FRANCESCO

Uhm, frengo, ma cosa è discriminante fra te e Simo_the_Wolf??? Il tempo di consegna?

Riguardo all'esercizio, immaginavo che ci fosse una soluzione banale, ma per via analitica, se la mia soluzione è corretta, si poteva fare tutto "brute force" senza avere la benchè minima intuizione