collineazioni e affinità

[EvaristeG]

Determinare per quali campi K una trasformazione bigettiva $ f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n $ (n>1) che trasformi rette affini in rette affini è automaticamente un'affinità.

[mattilgale]

mi spieghi tutta la domanda che non so praticamente niente di quello che ha detto?
se non ti rompe, sia chiaro... e grazie $ \displaystyle 10^3 $

[Marco]

Un "campo" è una cosa dove puoi fare sensatamente le quattro operazioni (+, - , x, : [a patto di non divider per zero]), con le proprietà che ti ha insegnato la maestra (associativa, commutativa, distributiva, ecc...).

Ci vuole qualche altro assiomillo, ma l'idea è quella.

Esempi di campi: i razionali; i reali; i complessi; gli interi modulo un numero primo(dimostrare!!).

$ \mathbb K^n $ è uno spazio vettoriale (dove puoi sommare vettori e moltiplicarli per scalare). Per fissare le idee, pensa a $ \mathbb R^n $ ($ \mathbb R^2 $ è il piano, $ \mathbb R^3 $ lo spazio, $ \mathbb R = \mathbb R^1 $ la retta, ecc...)

Una retta lì dentro è costituita dal "luogo" di vettori multipli di un certo vettore dato (nota bene: sul piano, questo significa considerare solo le rette passanti per l'origine).

Se aggiungi una traslazione generica, ottieni una retta affine (che nel piano sono tutte le rette, quelle che hai in mente).

Quindi per riassumere, una retta affine è costituita dai vettori del tipo

$ k \mathbf v + \mathbf p_0 $,

al variare di $ k \in \mathbb K $, dove $ \mathbf v $ ti da la direzione della retta e $ \mathbf p_0 $ è il vettore posizione della traslazione (pensalo in $ \mathbb R^2 $, per visualizzare...)

Un pochino meglio?

Ciao. M.

[Marco]

Determinare per quali campi K una trasformazione bigettiva $ f:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n $ che trasformi rette affini in rette affini è automaticamente un'affinità.

Mmmmh....... Senz'altro nei campi con più di tre elementi si costruiscono facilmente i controesempi. Con i campi con due e tre elementi ancora non so...

some time later... ...quindi mi stai elegantemente facendo capire che la mia definizione di affinità che ho dato dall'altra parte è sbagliata?

[EvaristeG]

ah ehm.... dunque :
innanzi tutto, ho fatto una lieve modifica : la dimensione dello spazio deve essere strettamente maggiore di 1.
@mattilgale : l'ho messo in matematica non elementare proprio perchè non è affatto elementare, quindi, se non ti offendi, ti consiglierei di non sbatterci troppo la testa ...
@marco : per K=R è vero, quindi...per il resto, non so, tu hai definito da qualche parte cos'è un'affinità in un generico K^n ?? o meglio, quale definizione hai in mente??

[Marco]

innanzi tutto, ho fatto una lieve modifica : la dimensione dello spazio deve essere strettamente maggiore di 1.

Se non ho preso un granchio, è irrilevante. Puoi fare pasticci sulla prima coordinata e fare il galantuomo sulle altre. Un controesempio in dimensione n, lo è anche in tutte le dimensioni superiori.... o no? Forse il granchio l'ho preso... Ci penso meglio.,..

@marco : per K=R è vero, quindi...per il resto, non so, tu hai definito da qualche parte cos'è un'affinità in un generico K^n ?? o meglio, quale definizione hai in mente??

Boh, occhio e croce, un'applicazione lineare traslata da qualche parte [non necessariamente] diversa dall'origine. No, mi riferivo alla definizione che ho dato di affinità nel piano nel thread sulle Affinità nel glossario (i.e. manda rette in rette e stop).

Comunque, senz'altro in un campo con 4 o più elementi, n=1 si trova il controesempio. con 2 e 3 elementi invece il lemma è vero. Con il campo di due elementi, è vero solo per n=1 e 2. Invece da n=3 il claim è falso.

Con il campo con tre elementi, ancora non so. Ho il forte sospetto che il claim sia vero sempre, per ogni n (ma l'ho pensato mentre facevo tutt'altro, quindi prendilo con beneficio di inventario).

M.

[EvaristeG]

ordunque, la dimensione fa differenza :

f:R -> R t.c. f(x)=x^3 è bigettiva e manda rette (l'unica retta!!) in rette (essendo bigettiva), ma mi rifiuterei di definirla una affinità, qualunque definizione tu ne prenda, dovendo quest'ultima avere qualcosa a che fare con la linearità ....

Ovviamente, questa cosa non si presenta in dimensione superiore, in quanto bisogna fare in modo che una qualsiasi retta vada in una retta ...

Inoltre, suggerirei di cercare una soluzione del tipo "tutti e soli i campi K tali che ..."

[EvaristeG]

ah, nel caso servisse :

$ f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n $

$ f(z_1, \ldots, z_n)= $

$ = (\lambda_1 \overline{z_1}+w_1, \lambda_2 z_2+w_2, \lambda_3 \overline{z_3}+w_3,\ldots,\lambda_n \overline{z_n}+w_n) $
dove lambda_i , z_i , w_i sono numeri complessi tali che f sia bigettiva e la barra indica il coniugio; questa è una affinità di C^n ?

[Marco]

Eh, eh, eh,

è una soddisfazione rara moderare un moderatore. Click per i dettagli.

Evariste, ho modificato il tuo messaggio per spezzare la formula lunga in più righe: prima l'interprete faceva pasticci e allargava troppo il messaggio. Ora la formula modificata entra nella larghezza del mio monitor, ed è molto più leggibile.

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Per quanto riguarda il problema, still thinking. Alla prox. Ciao. M.

[EvaristeG]

(completamente offtopic)
Bisogna allora accordarsi sulla larghezza standard dello schermo ... a me non dava alcun problema di visualizzazione.
(fine offtopic)

Cmq, non cambiare argomento e risolvi il problema!!

Tanto per essere buono, ecco una nota ed un primo step :

1) char(K)=2 è un caso da trattare a parte (ed io non ne ho mai avuto voglia per intero)
2) la prima cosa che si può provare a dimostrare è che se char(K) non è 2, una tale f manda un sottospazio affine di dim m in un sottospazio affine di dimensione m.

[Marco]

Ok. Scrivo le cose che so fare. Per le altre si vedrà.

Dato che char 2 non ti piace, comincio proprio a far fuori $ \mathbb K = \mathbb F_2 $. Sia n la dimensione.

Intanto, noto che tutte le funzioni bigettive sono collineazioni. Questo è banalmente vero, dato che ogni insieme di due punti è una retta affine.

Le collineazioni sono perciò $ (2^n)! $. Le affinità si possono contare e risultano essere

$ 2^n \displaystyle \prod_{k=0}^n \left( 2^n-2^k \right) $.

EDIT: la prima formula conteneva uno svarione. Speriamo che E.G. non l'abbia vista...

I due numeri sono uguali sse n=0,1,2. Quindi se la dimensione è <=2, ogni funzione bigettiva è una collineazione E un'affinità. Se invece è >2, no.

Un'altra cosa che sono riuscito a dimostrare è che f manda rette parallele in rette parallele sempre, tranne al più una sola retta per fascio. (se però il campo è finito, allora) ...aspetta... no. Ho capito. Ok. So dimostrare che f manda rette parallele in rette parallele.

Bah, vedremo...

Ciao. M.

[Marco]

Bisogna allora accordarsi sulla larghezza standard dello schermo...

Già. Solo che io ne ho uno grande come un francobollo...

2) la prima cosa che si può provare a dimostrare è che se char(K) non è 2, una tale f manda un sottospazio affine di dim m in un sottospazio affine di dimensione m.

Sei sicuro che char>2 sia l'ipotesi giusta? Io riesco a dimostrare questo:

Lemma: Sia K un campo con più di 2 elementi. Sia V un ssp. aff. di dim. m. Una tale f manda V in un insieme contenuto in un sottospazio affine di dimensione al più m. [e, credo, con poco sforzo in più di poter eliminare l'ultimo "al più"].

Cioè, la mia impressione è che l'unico campo veramente singolare non sia il generico campo con caratteristica due, ma proprio il campo di due elementi (che, peraltro, ho già sistemato nel msg precedente). Torna?

[EvaristeG]

Ehm, intendo che se L è ssp di dim m, f(L) è ssp di dim m, non che ci è contenuto ...

[Marco]

Sì, no, d'accordo!! Il fatto del contenimento è solo tecnico. A posteriori poi risultano tutte uguaglianze. Solo che non riesco di primo acchito ad escludere il caso patologico che f mandi sottospazi in sottospazi, ma in modo non surgettivo.

La cosa che mi preme è l'ipotesi sulla caratteristica. Il lemma dei sottospazi è vero per il campo, ad esempio, con 4 elementi? Io direi di sì, mentre dal tuo post sembrerebbe che non è detto.

Ad ogni modo, la mia strategia dimostrativa suona più o meno così.

Il lemma dei sottospazi (mi basta il contenimento).

Il lemma di parallelismo (nell'altro post l'ho enunciato male. La cosa che serve è ip.p.ni paralleli vanno in ip.p.ni paralleli (e non già rette in rette)).

Provare che la f ristretta alle rette sia un'affinità (ossia lungo le rette preservi la moltiplicazione per scalare). Questo non l'ho ancora fatto e ho come il sospetto che qui possa davvero servire char > 2.

A quel punto è fatta. Con gli iperpiani coordinati vado in un "sistema di riferimento affine" naturale rispetto alla f. Lungo gli assi coordinati la moltiplicazione per scalari torna, quindi f è proprio un'affinità.

Sto in particolare studiando il caso di $ A = \mathbb F_4^2 $. A parte cambi di coordinate, le uniche collineazioni mi sembra siano l'identità e il coniugio su entrambe le coordinate. [beneficio di inventario su tutto, naturalmente...]. L'unico eventuale candidato controesempio sarebbe perciò il coniugio (l'altro è banalmente un'affinità).

In effetti il coniugio è un controesempio, quindi la caratteristica 2 serve strettamente.

Alla prox. M.

[EvaristeG]

non faccio mica esempi a caso...certo che il coniugio non è un'affinità!!
Te l'ho pure scritto !! Cmq, non è per quello che vanno esclusi i casi con char(K)=2 già nella faccenda dei sottospazi ... non mi sono curato molto di dove si usi la faccenda, ma da qualche parte mi saltava fuori un 2*a e volevo che fosse non nullo per a non nullo.