TdN: sulle funzioni aritmetiche
Inviato: 25 mar 2005, 14:32
Premesse: vien detta funzione aritmetica ogni generica applicazione $ f(\cdot): X_n \mapsto \mathbb{C} $, essendo $ X_n := \{k \in \mathbb{N}: k \geq n\} $, per ogni arbitrario $ n \in\mathbb{N} $. In Teoria dei Numeri, e soprattutto nella Teoria Analitica dei Numeri, le funzioni aritmetiche rivestono un ruolo di primaria importanza, come testimoniato ad esempio dai tanti mirabili risultati riguardanti l'indicatore di Eulero, il simbolo di Legendre o le funzioni dei divisori, giusto per citare alcuni esempi comuni alla massima parte dei problem solvers più "nutriti", o ancora la lambda maior di Von Mangoldt, le funzioni $ \theta(\cdot) $ e $ \psi(\cdot) $ di Chebyshev, la funzione $ \pi(\cdot) $ dei numeri primi o i caratteri di Dirichlet, andando già più sul tecnico. E a questo punto, dopo avervi suggestionati a dovere con tutti 'sti bei nomignoli altisonanti, direi ch'è il caso di procedere con le primissime presentazioni, siete d'accordo?!
L'indicatore di Eulero: è detta funzione dei totienti di Eulero, o anche indicatore di Eulero, la mappa $ \varphi(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C}: $ $ n \mapsto \#\{k\in\mathbb{N}_0: k \leq n\mbox{ }\wedge\mbox{ }\gcd(n,k) = 1\} $. Sic et simpliciter...
Le funzioni dei divisori: fissato $ t\in\mathbb{R} $, si assuma $ \displaystyle{\sigma_t(n) := \sum_{k \mid n} k^t} $, ove la sommatoria a secondo membro s'intende estesa a tutti e soli i divisori interi positivi di $ n $, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $. Ebbene, $ \sigma_t(\cdot) $ vien detta la funzione dei divisori d'ordine $ t $.
La lambda maior di Von Mangoldt: per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, si ponga $ \Lambda(n) := \log p $, s'esistono $ p\in\mathfrak{P} $ e $ k\in\mathbb{N}_0 $ t.c. $ n = p^k $; $ \Lambda(n) := 0 $, in ogni altro caso. La funzione risultante $ \Lambda(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C} $ è detta appunto la lambda maior di Von Mangoldt.
La funzione dei numeri primi: si definisce funzione dei numeri primi la mappa $ \pi(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C}: n \mapsto \#\{p\in\mathfrak{P}: p \leq n\} $.
A questa funzione, in particolare, si applica il cosiddetto teorema dei numeri primi, o di Hadamard-De La Vallée Poussin, secondo cui (qualcuno copra gli occhi ai pargoli innocenti!!!): $ \pi(n) \sim \dfrac{n}{\log n} $, per $ n\to +\infty $. Dio, quale meraviglia...
Ok, per il momento mi fermo qui, ché ho giusto da proporvi un simpatico problemi in cui sono coinvolte alcune delle funzioni appena introdotte. Se qualcuno vuole aggiungere qualcosa, beh... faccia pure! Mica son tipo che si offende, come tenta d'insinuare qualcuno...
L'indicatore di Eulero: è detta funzione dei totienti di Eulero, o anche indicatore di Eulero, la mappa $ \varphi(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C}: $ $ n \mapsto \#\{k\in\mathbb{N}_0: k \leq n\mbox{ }\wedge\mbox{ }\gcd(n,k) = 1\} $. Sic et simpliciter...
Le funzioni dei divisori: fissato $ t\in\mathbb{R} $, si assuma $ \displaystyle{\sigma_t(n) := \sum_{k \mid n} k^t} $, ove la sommatoria a secondo membro s'intende estesa a tutti e soli i divisori interi positivi di $ n $, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $. Ebbene, $ \sigma_t(\cdot) $ vien detta la funzione dei divisori d'ordine $ t $.
La lambda maior di Von Mangoldt: per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, si ponga $ \Lambda(n) := \log p $, s'esistono $ p\in\mathfrak{P} $ e $ k\in\mathbb{N}_0 $ t.c. $ n = p^k $; $ \Lambda(n) := 0 $, in ogni altro caso. La funzione risultante $ \Lambda(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C} $ è detta appunto la lambda maior di Von Mangoldt.
La funzione dei numeri primi: si definisce funzione dei numeri primi la mappa $ \pi(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C}: n \mapsto \#\{p\in\mathfrak{P}: p \leq n\} $.
A questa funzione, in particolare, si applica il cosiddetto teorema dei numeri primi, o di Hadamard-De La Vallée Poussin, secondo cui (qualcuno copra gli occhi ai pargoli innocenti!!!): $ \pi(n) \sim \dfrac{n}{\log n} $, per $ n\to +\infty $. Dio, quale meraviglia...
Ok, per il momento mi fermo qui, ché ho giusto da proporvi un simpatico problemi in cui sono coinvolte alcune delle funzioni appena introdotte. Se qualcuno vuole aggiungere qualcosa, beh... faccia pure! Mica son tipo che si offende, come tenta d'insinuare qualcuno...