radici continue

[pazqo]

$ \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\ldots}}}}}=2 $

non mi pare affatto immediato.
chi vuole, ci provi

pazqo

[Boll]

Bello! Anche se non credo di saperlo provare, io credo che:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}=2 $
ma me lo sono inventato, o meglio, ci sono giunto insieme ad alcuni amici come risultato intermedio (e inutile) di un altro problema (Coseni, limiti e produttorie del vecchio forum ndr) quindi se volete provare a provarlo...

[pazqo]

beh, allora mettiamo pure questo:
Dire per quali n la seguente espressione è un numero intero:
$ \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\ldots}}} $

c'è da fare una verifica sulla convergenza di quella espressione. Lascio a voi il compito di dire per quali n va bene. Altrimenti è troppo facile.

Stesso discorso con la seguente:
$ \frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\ldots}}} $.

Fatte queste due, la tua segue banalmente. Per l'altra è moooolto più difficile.

[MindFlyer]

Ramanujan?

[pazqo]

già... lui.
il fatto è che ho provato ad attaccarla in moltissimi modi. la dimostrazione sembra abbastanza fine

[HiTLeuLeR]

$ \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\ldots}}}}}=2 $

Scusatemi, eh, se al solito vo' scassando in giro gli zebedei a voi altri, maaa... sono alquanto combattuto!!! Cos'è quella roba lì? A secondo membro mi pare di riconoscere un intero, ecco, sì... Ma a sinistra del segno d'uguale, ehmmm... cosa min***a l'è quel coso?!? Giuro, in tanti e tanti anni di studio, non ho mai visto una scrittura del genere! Bon, se magari qualcuno provasse a riscrivere il problema in una forma Matematica di senso compiuto, comprensibile anche a noi altri procarioti, allora forseee...

[pazqo]

$ \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\ldots}}}}}=2 $

proviamo con una dimostrazione fasulla:

lemma:
$ \sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{\ldots}}}}}=n+1 $

dim:
per induzione: se n = 0, tutto ok
sia vero per n, dimostriamolo per n+1.
eleviamo al quadrato a destra e a sinistra:
$ 1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{\ldots}}}}=n^2+2n+1 $
da cui
$ n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{\ldots}}}}=n^2+2n $
e quindi
$ \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{\ldots}}}}=n+2 $
Q.E.D.

da cui, con n=1 segue la tesi.
qual è il problema ?

[HiTLeuLeR]

$ \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\ldots}}}}}=2 $

E torna a coppe... Il problema è che della scrittura a primo membro qualcuno dovrebbe definire il senso, specificando come debba essere interpretata!!! Diversamente tutto questo mi pare più che altro ridicolo, se mi è concessa (e mi è concessa!!!) la franchezza...

[tmart]

$ \sqrt{1+\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{\ldots}}}}}=2 $

E torna a coppe... Il problema è che della scrittura a primo membro qualcuno dovrebbe definire il senso, specificando come debba essere interpretata!!! Diversamente tutto questo mi pare più che altro ridicolo, se mi è concessa (e mi è concessa!!!) la franchezza...

Cari utenti antichi, mi ricordate quando ero convinto di poter sfuggire dalle boriose dimostrazioni (e dalle oli) e invece anche algebra mi ha catturato... infine tutto deve esser netto, opachi erano solo i fogli del suo quadernoecco qui i passati sentimenti a riguardo, già allora euler additò la formulazione eccessivamente artigianale del problema.. ma ebbe compassione della mia età

ultima annotazione: se questi messaggio fosse OT (passo di qui per caso), caput![/url]