[N] Differenze tra palindromi

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Tra un problema di fisica, uno di teoria dei numeri avanzata ed un indovinello di pensiero laterale, è bello ogni tanto andare off topic e proporre qualcosa di matematica olimpica.
 
 Si scrivano uno sotto l\'altro tutti gli interi positivi palindromi in ordine crescente. Quali numeri primi possono essere differenza di 2 numeri palindromi consecutivi?
 
 (Un numero palindromo è un numero che non cambia se si inverte l\'ordine delle sue cifre; ad esempio 35653 è palindromo)

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Risposta da 5 minuti buttata lì... Lo so che rischio di essere banalotto e dire cavolate ma, escludendo i numeri palindromi di 1 e 2 cifre, (dove la differenza è 1,2,11):
 
 * se passando al numero consecutivo il numero di cifre rimane uguale e la prima cifra (così come l\'ultima) NN CAMBIA, la differenza è un multiplo di 10;
 
 * se passando al numero consecutivo il numero di cifre rimane uguale e la prima cifra (così come l\'ultima) CAMBIA, la differenza è 11;
 
 * se passando al numero consecutivo il numero di cifre cambia, la differenza è 2;
 
 Gli unici primi allora sono (2,11)... Nn ho scritto dimostrazione perchè prima di scrivere cose inutili vorrei che qualcuno verificasse la correttezza... Saluti

jim · Messaggio da **jim** » 01 gen 1970, 01:33

Secondo il mio ragionamento, i numeri sono 2, 11 e (se vogliamo) 1.
 1 lo troviamo sottraendo numeri consecutivi formati da una cifra, che, a loro modo, sono palindromi. il numero 2 lo troviamo ogni qual volta i numeri aumentano di una cifra (es: 101-99, 1001-999, 10001-999, ecc...).
 Per quanto riguarda il terzo numero (11), esso compare quando sottraiamo due numeri palindromi consecutivi formati dallo stesso numero di cifre in cui crescono di 1 le cifre agli estremi (es: 202-191, 3003-2992, 500005-499994, ecc...). l\' ultimo numero che possiamo trovare come differenza di 2 palindromi consecutivi è 10 ( che ovviamente non è primo), che otteniamo quando sottraiamo nei numeri a cifre dispari, due pal. cons. in cui varia solo la cifra centrale (es: 121-111). In realtà, aumentando le cifre, le differenze ottenute negli stessi casi risultano moltiplicate per 10 (es: 1221-1111=11*10=110, oppure: 10101-10001=10*10=100), ma ovviamente questi non sono primi.

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Cmq questi (se la sol è quella!) nn sono problemi da oli-mat ma da giochi Bocconi!
 
 p.s.: nn vuole essere un giudizio su qualità, difficoltà, ecc.. ma solo sulla tipologia... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 11-12-2004 21:01 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Mah, Mind, tutto sommato non mi sembra che si propongano pochi problemi, magari di questi tempi... Comunque sia, proviamo.
 
 Soluzione: Gli unici primi che verificano sono 2 e 11
 
 Dimostrazione:
 I due casi enumerati sono banali da dimostrare poichè 22-11=11 e 101-99=2 ad esempio, ora dimostriamo che non ne esistono altri. Il \"cambio cifra\" cioè il passaggio da un palindromo di cifre pari a un palindromo di cifre dispari avviene sempre tra un numero composto da tutti 9 e tale numero sommato a 2, tali numeri sono entrambi palindromi e il numero tra loro ovviamente non lo è poichè è una potenza di 10. Se invece vogliamo aumentare un palindromo di una \"prima cifra\" cioè, se ha n cifre, il numero la cui base è 10n-1, dovremo aggiungere 11 al palindromoo recedente, pichè tale numero sarà composto in tale modo X999...999X, ora se aggiungiamo tanti uno otteniamo che non ci sono palindromi fino a che non cambiamo X+1 anche all\'inzio, quando tale cifra cambia per la prima volta avremo un numero della forma (X+1)000...000 e, per ottenere un altro palindromo dovremo aggiungere la cifra X+1, per costruzione non ci sono altri palindromi in mezzo. La loro divfferenza è 10-X+X+1=11. Ora, se due palindromi sono consecutivi, allora, preso un palindromo a caso, il suo consecutivo dovrà avere la stessa cifra delle unità, a meno che non sia cambiata la prima cifra, ma come già dimsotrato in precedenza ciò accade con due palindromi di differenza 11 o 2.

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Bene, abbiamo scritto in tre la stessa cosa...

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Secondo il mio ragionamento, i numeri sono 2, 11 e (se vogliamo) 1.
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 SATANA!!!!
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 Uno non è primo... Sennò ogni numero avrebbe infinite scomposizioni in fattori primi. La definizione di numero primo (base) è: Un numero si dice primo se è >1 e è diviso solo da se stesso è l\'unità (almeno credo). <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

jim · Messaggio da **jim** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2004-12-11 21:06, Boll wrote:
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 Secondo il mio ragionamento, i numeri sono 2, 11 e (se vogliamo) 1.
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 SATANA!!!!
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 Uno non è primo... Sennò ogni numero avrebbe infinite scomposizioni in fattori primi. La definizione di numero primo (base) è: Un numero si dice primo se è >1 e è diviso solo da se stesso è l\'unità (almeno credo). <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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 ehm... già.

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2004-12-11 21:06, Boll wrote:
 La definizione di numero primo (base) è: Un numero si dice primo se è >1 e è diviso solo da se stesso è l\'unità (almeno credo).
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 Non proprio: primo <--> se divide un prodotto, allora divide uno dei fattori.
 Quella che dici tu è la definizione di irriducibile.
 ...Ehm, mi dicono dalla regìa che in Z le due definizioni sono equivalenti. Ma in altri posti più brutti non lo sono, quindi occhio.

HiTLeuLeR · Messaggio da **HiTLeuLeR** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2004-12-13 10:57, MindFlyer wrote:
 Non proprio: primo <--> se divide un prodotto, allora divide uno dei fattori.
 Quella che dici tu è la definizione di irriducibile.
 ...Ehm, mi dicono dalla regìa che in Z le due definizioni sono equivalenti. Ma in altri posti più brutti non lo sono, quindi occhio.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Beh, in effetti, è da sempre che mi chiedo come mai gli ideali continuassero ancora a latitare, su questo forum... <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 
 
 \"In vino veritas? Buaaah... Io la cercherei nelle latrine!\" - HiTLeuLeR