[G] triangoli & disuguaglianze

[ma_go]

dato un triangolo ABC di lati a, b, c, si costruisca A\'B\'C\' di lati a+b/2, b+c/2, c+a/2. sia S(XYZ) l\'area del triangolo XYZ.
<BR>dimostrare che S(ABC) <= 4S(A\'B\'C\')/9.

[karl]

La relazione si puo\' dimostrare in piu\' modi:scelgo quello diretto.
<BR>Per semplicita\' indico le aree ed i perimetri dei due triangoli con
<BR>A,A\',2p,2p\'.
<BR>Cio\' posto abbiamo:
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/erone.bmp"><!-- BBCode End -->

[Leblanc]

io l\'ho fatto in un modo un po\' diverso:
<BR>
<BR>per Erone si ha, elevando al quadrato:
<BR>
<BR>(-a+b+3c)(-b+c+3a)(-c+a+3b) >= 27 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
<BR>
<BR>Sostituendo
<BR>a+b-c = x
<BR>a-b+c = y
<BR>-a+b+c = z
<BR>con x, y, z >0 perchè a, b, c sono lati di un triangolo si ha:
<BR>(2z+y)(2y+x)(2x+z)>= 27 xyz
<BR>Applicando la AM-GM ai singoli fattori si ha la tesi:
<BR>(z+z+y)/3>=(z^2y)^(1/3)
<BR>...
<BR>Si ha uguaglianza per x = y = z, cioè per il triangolo equilatero.
<BR>
<BR>Ciao