Forse può interessare a qualcuno.
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<BR>Se g(x) è un polinomio a coefficienti interi, dimostrare che se p è un numero primo, allora per i>=p, si ha che la derivata i-esima rispetto ad x di
<BR>(g(x)/(p-1)!) è un polinomio a coefficienti interi ciascuno dei quali è divisibile per p.
[A] Derivate di polinomi
Moderatore: tutor
Siano g(-) un generico polinomio a coeff. interi di grado r \\in N nella sola variabile x e p un numero primo naturale qualunque (p >= 2). In tal caso, per ogni x \\in R, può sempre porsi g(x) := sum<sub>k=0...r</sub> a<sub>k</sub> x<sup>k</sup>, ove a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, ..., a<sub>r</sub> \\in Z e a<sub>r</sub> \\neq 0.
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<BR>Ciò premesso, sia dunque n un intero >= p. Se n > r, la derivata n-esima di g(-) è identicamente uguale a zero, e la tesi risulta pertanto banalmente soddisfatta. Lice supporre di conseguenza, per il seguito: r >= n >= p. In tal caso:
<BR>
<BR>d<sup>n</sup>/dx<sup>n</sup> g(x)/(p-1)! = [Per la linearità dell\'operazione di derivata] =
<BR>= sum<sub>k=0...r</sub> [a<sub>k</sub>/(p-1)!] · (d<sup>n</sup>/dx<sup>n</sup> x<sup>k</sup>) = [Dalla regola di derivaz. dei monomi] =
<BR>= sum<sub>k=n...r</sub> a<sub>k</sub> · [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! · x<sup>k-n</sup>.
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<BR>Ora, poiché si è ammesso r >= n >= p, se ne deduce che, per ogni k = n, n+1, ..., r, l\'intero k(k-1)...(k-n+1) è il prodotto di almeno p numeri naturali consecutivi. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End --><sup>(1)</sup>,qualunque sia k = n, n+1, ..., r: p! | k(k-1)...(k-n+1), per cui (secondo definizione) esiste un h<sub>k</sub> \\in Z tale che: k(k-1)...(k-n+1) = h<sub>k</sub> · p!, cosicché: [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! = h<sub>k</sub> · p, e quindi: [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! = 0 mod p, o ancora: a<sub>k</sub> · [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! = 0 mod p. Di qui la tesi, q.e.d.
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<BR><sup>(1)</sup>: si può risalire alla dimostrazione del fatto che il prodotto di n interi consecutivi è divisibile per il fattoriale di n, per ogni n \\in N<sub>0</sub>, semplicemente cliccando <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... 10\"><font color=blue>qui</font></a>.
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<BR>EDIT: quando si dice \"pigno\"...
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<BR>\"Un filosofo tedesco ha detto: «Perfino Dio ha un inferno, ed è il suo amore per gli uomini.»\" - Paulo Coelho, da <!-- BBCode Start --><I>Il Diavolo e la signorina Prym</I><!-- BBCode End --><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-10-2004 15:04 ]
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<BR>Ciò premesso, sia dunque n un intero >= p. Se n > r, la derivata n-esima di g(-) è identicamente uguale a zero, e la tesi risulta pertanto banalmente soddisfatta. Lice supporre di conseguenza, per il seguito: r >= n >= p. In tal caso:
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<BR>d<sup>n</sup>/dx<sup>n</sup> g(x)/(p-1)! = [Per la linearità dell\'operazione di derivata] =
<BR>= sum<sub>k=0...r</sub> [a<sub>k</sub>/(p-1)!] · (d<sup>n</sup>/dx<sup>n</sup> x<sup>k</sup>) = [Dalla regola di derivaz. dei monomi] =
<BR>= sum<sub>k=n...r</sub> a<sub>k</sub> · [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! · x<sup>k-n</sup>.
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<BR>Ora, poiché si è ammesso r >= n >= p, se ne deduce che, per ogni k = n, n+1, ..., r, l\'intero k(k-1)...(k-n+1) è il prodotto di almeno p numeri naturali consecutivi. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End --><sup>(1)</sup>,qualunque sia k = n, n+1, ..., r: p! | k(k-1)...(k-n+1), per cui (secondo definizione) esiste un h<sub>k</sub> \\in Z tale che: k(k-1)...(k-n+1) = h<sub>k</sub> · p!, cosicché: [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! = h<sub>k</sub> · p, e quindi: [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! = 0 mod p, o ancora: a<sub>k</sub> · [k(k-1)...(k-n+1)]/(p-1)! = 0 mod p. Di qui la tesi, q.e.d.
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<BR><sup>(1)</sup>: si può risalire alla dimostrazione del fatto che il prodotto di n interi consecutivi è divisibile per il fattoriale di n, per ogni n \\in N<sub>0</sub>, semplicemente cliccando <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... 10\"><font color=blue>qui</font></a>.
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<BR>EDIT: quando si dice \"pigno\"...
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<BR>\"Un filosofo tedesco ha detto: «Perfino Dio ha un inferno, ed è il suo amore per gli uomini.»\" - Paulo Coelho, da <!-- BBCode Start --><I>Il Diavolo e la signorina Prym</I><!-- BBCode End --><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-10-2004 15:04 ]