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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da febiz2004
Si leggono i problemi?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Soluzione del quesito sulle due circonf.
<BR>Siano O,O\' i centri delle due crf,R ed r i rispettivi raggi,
<BR>H l\'intersezione di OO\' con PQ.
<BR>Poniamo (a,b=angoli):
<BR>MOP=2a,PO\'N=2b ne segue :XMN=a ed XNM=b.
<BR>Sara\' allora OMP=OPM=pi/2-a;O\'PN=O\'NP=pi/2-b
<BR>e quindi: OPO\'=a+b.
<BR>Dal triangolo OPO\' si ha:
<BR>OO\'=sqrt(R<sup>2</sup>+r<sup>2</sup>-2Rrcos(a+b))
<BR>Area(OPO\')=1/2*Rr*sin(a+b);
<BR>PQ=2*PH=(2Rr*sin(a+b))/sqrt(R<sup>2</sup>+r<sup>2</sup>-2Rrcos(a+b))
<BR>Dal triangolo MNX si ha (teorema dei seni):
<BR>MX=MN*sinb/sin(a+b);NX=MN*sina/sin(a+b)
<BR>Per una nota formula risulta:
<BR>PX<sup>2</sup>=(1/4)*[2(MX<sup>2</sup>+NX<sup>2</sup>)-MN<sup>2</sup>]
<BR>Ovvero:
<BR>PX<sup>2</sup>=1/4*MN<sup>2</sup>[(2sin<sup>2</sup>a+2sin<sup>2</sup>b-sin<sup>2</sup>(a+b))/sin<sup>2</sup>(a+b)]
<BR>Dunque:
<BR>PQ<sup>2</sup>*PX<sup>2</sup>=
<BR>R<sup>2</sup>r<sup>2</sup>MN<sup>2</sup>*[(2sin<sup>2</sup>a+2sin<sup>2</sup>b-sin<sup>2</sup>(a+b))/(R<sup>2</sup>+r<sup>2</sup>-2*Rrcos(a+b))]
<BR>Ora (teorema della corda):
<BR>PM=2*rsina;PN=2rsinb,pertanto deve aversi Rsina=rsinb-->r=Rsina/sinb.
<BR>Sostituendo r con quest\'ultimo valore,si ottiene:
<BR>PQ<sup>2</sup>*PX<sup>2</sup>=
<BR>MN<sup>2</sup>*R<sup>2</sup>*sin<sup>2</sup>a*[(2sin<sup>2</sup>a+2sin<sup>2</sup>b-sin<sup>2</sup>(a+b))/(sin<sup>2</sup>b+sin<sup>2</sup>a-2*sina*sinb*cos(a+b))]
<BR>Con qualche calcolo si vede che la frazione in parentesi quadra vale 1
<BR>e quindi:
<BR>PQ<sup>2</sup>*PX<sup>2</sup>=MN<sup>2</sup>*(PM/2)<sup>2</sup>
<BR>Ovvero:
<BR>PQ*PX=MN*(PM/2)=PM<sup>2</sup>
<BR>Q.E.D.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 17-04-2004 15:18 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da info
Qualcuno con un pò di tempo libero trovi una soluzione EUCLIDEA per favore.........
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da livingbooks
Ho nostalgia di Jack
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da info
2)Does there exist a positive integer k which can be written as a sum k=m!+n! (1≤m≤n) in two different ways?
<BR>
<BR>Posto
<BR>k=m!+n!
<BR>k=c!+d!
<BR>con m minore di n e c minore di d
<BR>Confrontando
<BR>m!+n!=c!+d!
<BR>Ora per le condizioni
<BR>m!+m! (m+1)(m+2)...(n)=c!+c!(c+1)(c+2)...d
<BR>Raccogliendo
<BR>m! [1+(m+1)(m+2)...n]=c! [1+(c+1)(c+2)...d]
<BR>Ora poniamo m minore di c e scriviamo
<BR>m! [1+(m+1)(m+2)...n]=m!(m+1)(m+2)...c*[1+(c+1)(c+2)...d]
<BR>Semplificando m! ci accorgiamo che il primo membro è uguale a
<BR>1 [mod (m+1)], mentre il secondo è un multiplo di (m+1). Siamo giunti ad un assurdo, quindi.....
<BR>Nn sono molto sicuro del tutto ma sto dedicando veramente poco tempo a stè robe, meno del solito. Quindi ci può essere qualche grosso errore (magari anche banale). Inoltre so bene che, ammettendo che sia corretta nelle linee generali, questa sol deve essere formalizzata per essere veramente corretta...
<BR> Bye
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 17-04-2004 21:31 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 17-04-2004 21:32 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 17-04-2004 21:33 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Per Info e Livingbooks.
<BR>Non vi conosco,ma sono sicuro di una cosa:
<BR>siete due campioni di gentilezza ,specie nello
<BR>apprezzare il lavoro altrui anche se non proprio \"Euclideo\".
<BR>Buon proseguimento di serata.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Propongo un diversa interpretazione del problema delle
<BR>due circonferenze.
<BR>Siano c1 ,c2 le due circonf. , O ,O\' i rispettivi centri
<BR>e poniamo MOP=2a,PO\'N=2b.
<BR>Detto s l\'asse di MN e Q\' il simmetrico di Q rispetto ad
<BR>s,congiungiamo M,N,P con Q e Q\'.Osserviamo che
<BR>MQP=1/2(MOP)=a;PQN=1/2(PO\'N)=b inoltre, per ragioni di
<BR>simmetria, e\' PQ\'N=MQP=a e PQ\'M=PQN=b.Osserviamo ora
<BR>che il trapezio isoscele MQ\'QN e\' inscrivibile in una circonf.
<BR>che chiameremo c3 e sia T l\'altra intersezione di c3 con PQ\'.
<BR>Congiunto T con M ed N,e\' TMN=TQ\'N=a =1/2(MOP) e dunque
<BR>T si trova sulla tangente in M a c1.
<BR>Analogamente e\' TNM=TQ\'M=b=1/2(PO\'N) e dunque
<BR>T si trova sulla tangente in N a c2.Ne segue che T e\' in realta\'
<BR>il punto X ;ora dalle corde MN e XQ\' di c3 si ricava:
<BR>PX*PQ\'=PM*NP ,ma PQ\'=PQ e quindi:
<BR>PX*PQ=PM^2.
<BR>Spero con questa soluzione (se esatta) di aver contentato
<BR>Info che voleva una interpretazione \"euclidea\" (forse voleva
<BR>dire \"sintetica\") e a Livingbooks di far rimpiangere appena un po\'
<BR>meno Jack202 (senza ,per questo, voler fare irriverenti paragoni).
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 18-04-2004 17:54 ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 18-04-2004 17:58 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 18-04-2004 18:15 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da info
Mi dispiace karl di essere stato così rude: in effetti mentre scrivevo quel messaggio avevo pensato che forse nn era molto gentile...ma anche tu nn puoi prendertela in questa maniera!!!....in fondo nn stavo giudicando il livello del tuo lavoro o le tue capacità (che ritengo molto superiori alle mie), ma solo il tipo di soluzione.....
<BR>Vedo che ne hai postata una di quelle che piacciono a me. Quando ho tempo la leggo. Saluti
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da livingbooks
mmh.. forse non mi sono spiegato...cercherò di non lasciare dubbi:
<BR>
<BR>leggendo problemi di geometria mi è inevitabile pensare a Jack...
<BR>pensando a jack mi è inevitabile ricordare che è quasi un mese che non lo vedo/sento... e ricordo che i problemi raccolti per lui sono andati nel nulla...
<BR>Forse perché mio fratello si chiamava Jack
<BR>
<BR>E\' sera...
<BR>[addsig]