Sia $C_{l,n}$ il numero di modi di sistemare $l$ persone in $n$ case in modo che essi abbiano una distabza di almeno $2$ fra loro.
Chiaramente $C_{1,n}=n$.
Osserviamo che $C_{l,n}=C_{l,n-1}+C_{l-1,n-3}$, infatti nel mettere $l$ persone in $n$ case con quelle condizioni, abbiamo i casi in cui l'ultima è vuota che sono $C_{l,n-1}$, i casi in cui l'ultima è piena allora devo mettere altri $ l-1$, ma la casa $ n-1 $ e $ n-2 $ per le condizioni devono essere vuote... ne deriva la ricorsione.
$C_{2,n}=C_{2,n-1}+\max(0,n-3)$. Da cui facilmente
$C_{2,n}=1+2+...+(n-3)$ (esso è zero se tale quantità dovesse essere negativa).
$C_{3,n}=C_{3,n-1}+\binom{n-5}{2}$ con la convenzione che il binomiale è zero se il numero sotto è maggiore di quello di sopra (convenzione da applicare a tutti i binomiali anche nel resto della soluzione).
Quindi per n maggiori o uguali a 7:
$C_{3,n}=\sum_{i=7}^{n}\binom{i-5}{2}=\binom{2}{2}+...+\binom{n-5}{2}=\binom{n-4}{3}$
Se n minore di 7 allora $C_{3,n}=0$
Qui abbiamo usato una nota identità tra binomiali (se non la conosci te la linko:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity)
In modo analogo
$C_{4,n}=C_{4,n-1}+C_{3,n-3}=C_{4,n-1}+ \binom{n-7}{3}$
Per n maggiori uguali a 10:
$C_{4,n}=\sum_{i=10}^{n}\binom{i-7}{3}= \binom{3}{3}+...+\binom{n-7}{3}=\binom{n-6}{4}$, qui si usa la stessa identità di prima...
Quindi $C_{4,16}=\binom{10}{4}=210$. Che è ciò che cercavamo.
In generale $C_{l,n}=\binom{n-2(l-1)}{l}$, si può dimostrare per induzione su $ l$
Fammi sapere se ci sono cose poco chiare o errori