Buonasera a tutti,
apro questo topic perchè mi è sorto un fortissimo dubbio sul problema dell'orologio presente sulla gara di Archimede del 30/11/2023.
Il testo è il seguente:
Quante volte, nell’arco di una giornata (da mezzanotte alla mezzanotte successiva),
la lancetta delle ore e la lancetta dei minuti di un orologio (con un comune quadrante
a 12 ore) si trovano disposte perpendicolarmente?
Le possibili risposte sono:
44
48
24
22
46
Il mio ragionamento è stato il seguente: ogni ora sicuramente le mie lancette saranno perpendicolari solo ed esclusivamente due volte, ad esempio alle 00:17 (circa) e alle 00:49 (circa), oppure alle 06:16 (circa) e alle 06:48 (circa). In questo momento di sapere esattamente l'ora mi importa poco, l'importante è riuscire a dire che in ogni arco temporale di un ora le mie lancette saranno perpendicolari sempre e soltanto due volte. Visto che in 24h si hanno 24 archi temporali di un ora (li elenco tutti anche se è abbastanza ovvio per fugare ogni dubbio: 00.00-01.00, 01.00-02.00, 02.00-03.00, 03.00-04.00, 04.00-05.00, 05.00-06.00, 06.00-07.00, 07.00-08.00, 08.00-09.00, 09.00-10.00, 10.00-11.00, 11.00-12.00, 12.00-13.00, 13.00-14.00, 14.00-15.00, 15.00-16.00, 16.00-17.00, 17.00-18.00, 18.00-19.00, 19.00-20.00, 20.00-21.00, 21.00-22.00, 22.00-23.00, 23.00-24.00), mi sembra abbastanza ovvio poter affermare che la risposta giusta è 2x24=48.
Eppure sono appena uscite le soluzioni della gara e riportano che la soluzione corretta è 44,con la seguente spiegazione:
Vediamo cosa succede nell’arco di mezza giornata, da mezzanotte a mezzogiorno. Possiamo rappresentare in un
diagramma, al trascorrere del tempo (in ore), quale angolo formano la lancetta delle ore (linea continua) e la
lancetta dei minuti (linee tratteggiate) con la semiretta dal centro del quadrante verso ore 0.
(qua ci sarebbe l'immagine del grafico, se qualcuno mi spiega come allegarla modifico il messaggio, altrimenti la trovate su http://olimpiadi.dm.unibo.it/le-gare/gi ... archimede/ )
Le intersezioni tra la linea continua e le linee tratteggiate corrispondono agli istanti in cui le due lancette si
sovrappongono, cosa che avviene ogni 11a parte di giro, ossia ogni 12/11 di ora. Durante ciascuno di tali 11
intervalli di tempo, le due lancette sono per 2 volte perpendicolari: a 1/4 e a 3/4 di ogni intervallo (a met`a
intervallo sono invece opposte). In mezza giornata, le lancette sono quindi perpendicolari 11 ·2 = 22 volte.
Nell’arco di una giornata, la cosa avviene pertanto 44 volte.
Qualcuno è in grado di smentire il mio ragionamento e dimostrare che la soluzione è effettivamente 44 usando parole meno criptiche della soluzione ufficiale?
grazie mille in anticipo a tutti
Problema dell'orologio, Archimede 2023
Re: Problema dell'orologio, Archimede 2023
Il tuo raggionamento è sbagliato per conti certi casi due volte. Ad esempio alle 3:00 le due lancette sono perpendicolari, e le hai contate due volte, nell'intervallo 2:00-3:00 e 3:00-4:00. Appena posso scrivo una mia soluzione.
Re: Problema dell'orologio, Archimede 2023
Osserviamo invece che ogni volta che le due lancette coincidono quanda concederanno di nuovo dopo il giro saranno state perpendicolari 2 volte.
Per capire quando coincidono di nuovo usiamo un equazione che sfrutta la velocità con cui compiono 360 gradi le due lancette:
$360°+t\frac{360°}{12 h}=t\frac{360}{1h}$. Risolvendola ottieni $t=\frac{12}{11}h$. Dividendo 24h per 12/11 otteniamo 22. Quindi il risultato è 22×2=44.
Ho scritto velocemente... Quindi dimmi se è chiara
Per capire quando coincidono di nuovo usiamo un equazione che sfrutta la velocità con cui compiono 360 gradi le due lancette:
$360°+t\frac{360°}{12 h}=t\frac{360}{1h}$. Risolvendola ottieni $t=\frac{12}{11}h$. Dividendo 24h per 12/11 otteniamo 22. Quindi il risultato è 22×2=44.
Ho scritto velocemente... Quindi dimmi se è chiara
Re: Problema dell'orologio, Archimede 2023
Ok, ho capito adesso! Grazie per la spiegazione
