OliForum Matematico

Ciao, tra i problemi del senior in pillole online non riuscivo a risolvere:

Scomporre su R il polinomio
1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+...+x^1013

Ho notato subito che -1 è soluzione e quindi fatta la divisione polinomiale, ma poi qualcuno saprebbe aiutarmi su come andare avanti?

Indicando con [math]P(x) il polinomio in esame, comincio a fare la scomposizione indicata.

[math]P(x)=(1+x)+x^2(1+x)+x^4(1+x)+...+x^{1012}(1+x)=
[math]=(1+x)(1+x^2+x^4+...+x^{1012})

Moltiplico per[math] \frac{1-x^2} {1-x^2}

[math]P(x)=(1+x) \frac{1-x^{1014}} {1-x^2}=(1+x) \frac{1-x^{507}} {1-x} \frac{1+x^{507}} {1+x}

Considero la prima frazione
[math]\frac{1-x^{507}} {1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^{506}=
[math]=(1+x+x^2)+x^3(1+x+x^2)+x^6(1+x+x^2)+...+x^{504}(1+x+x^2)=
[math]=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+...+x^{504})=(1+x+x^2)A
con
[math]A=(1+x^3+...+x^{36})+x^{39}(1+x^3+...+x^{36})+...+x^{468}(1+x^3+...+x^{36})=
[math]=(1+x^3+...+x^{36})(1+x^{39}+x^{78}+...+x^{468})

Per la seconda frazione non occorrono altri calcoli: basta cambiare il segno di x nel risultato della prima. Concludo moltiplicando fra loro i vari fattori ottenuti; non scrivo qui la formula finale perché decisamente lunga.

Okay chiaro, grazie mille, ho un'ulteriore domanda; come faccio a essere certo che a questo punto il polinomio è irriducibile?

Non credo che si possa esserne certi; neanch'io lo sono. Di sicuro però il metodo di scomposizione che ho usato non serve più, perché ogni parentesi contiene un numero primo di addendi e quindi non si può suddividerla in blocchi aventi tutti lo stesso numero di addendi. Potrebbero però esserci scomposizioni di altro tipo.

[Ripensandoci, ho scoperto che c'è almeno un'altra scomposizione; ci arrivo però in modo in modo molto indiretto. Mi limito a cercare la scomposizione di
[math]Q(x)=\frac{1-x^{507}} {1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^{506}
Ci sono 507 addendi e si ha [math]507=3*13^2. Nella mia prima mail avevo quindi suddiviso in blocchi di 3 addendi e poi in blocchi di 13 ed avevo trovato [math]Q(x)=a_1a_2a_3,con
[math]a_1=1+x+x^2
[math]a_2=1+x^3+x^6+...+x^{36}
[math]a_3=1+x^{39}+x^{78}+...+x^{468}

Si può però suddividere prima in blocchi di 13 e poi in blocchi di 3; si ha [math]Q(x)=b_1b_2b_3, con
[math]b_1=1+x+x^2+...+x^{12}
[math]b_2=1+x^{13}+x^{26}
[math]b_3=1+x^{39}+x^{78}+...+x^{468}

Si ha [math]a_3=b_3, ma per gli altri fattori deve esserci una scomposizione che renda uguali i due prodotti. Ed infatti
[math]b_2=x^{26}+x^{13}+1=x^2(x^{24}-1)+x(x^{12}-1)+(x^2+x+1)

Le prime due parentesi sono divisibili per [math]x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), quindi il tutto è divisibile per [math]a_1=x^2+x+1. Detto [math]c il risultato di questa divisione, si ha [math]b_2=c*a_1 (e quindi [math]a_2=c*b_1)

Su R i polinomi irriducibili sono solo quelli di grado 1 e 2; qualunque polinomio di grado più grande si scompone. Per sapere come son fatti i fattori però devi conoscere qualcosa sui numeri complessi. Hai visto la lezione di algebra 1?

Su R hai tutte le ragioni; qui però stiamo pensando a scomposizioni in polinomi a coefficienti interi, quelli a cui ci si riferisce quando, il primo anno delle superiori, si studia la scomposizione in fattori.
Mi scuso se non ho usato il linguaggio corretto.

Non c'è niente di cui scusarti, il tuo linguaggio mi sembra corretto. E in ogni caso siamo tutti qui per imparare e insegnare qualcosa.

Nel primo post hai scritto "scomporre su R", quindi pensavo che ti riferissi a quello; se invece vuoi scomposizioni su Q (o su Z) la risposta è diversa. Di solito nei senior viene spiegato l'"arnese" di teoria che serve per fare queste scomposizioni, cioè i polinomi ciclotomici, ma senza dimostrare tutto perché è molto tecnico. In generale senza aver visto i questo pezzo di teoria è molto difficile trovare queste scomposizioni da solo facendo i conti a mano. Il tuo $a_3$, in particolare, si scompone in altri due pezzi, ma non è per nulla facile da vedere!