OliForum Matematico

ripropongo il problema postomi da jack 2 gg fa su #olimpiadi
 
 c\'è un triangolo, una circ. inscritta di raggio r e una circoscritta di raggio R.
 trovare x=min(R/r)
 in R2 sono pochi conti...
 provate poi in R3, usando tetraetro e sfere, e poi in Rn, esprimendo x in funz. di n.
 
 alex

Beh, up! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

Il problema originale era del compianto Conti, se non erro.
 Sigh...

Allora, per il caso generale si può definire per induzione il baricentro del simplesso di dimensione n come il punto d\'incontro dei segmenti congiungenti gli n+1 vertici con gli n+1 baricentri dei simplessi di dimensione n-1 ad essi opposti.
 
 Poi si può dimostrare, sempre per induzione, il teorema della mediana generalizzato: ognuno dei segmenti suddetti è suddiviso dal baricentro in 2 parti, di cui quella che contiene il vertice misura n volte l\'altra.
 
 A questo punto si considera il simplesso n-dimensionale avente come vertici gli n+1 baricentri dei simplessi (n-1)-dimensionali che ne costituiscono le facce. Per il teorema di Talete, i 2 simplessi sono simili, con rapporto di similitudine n: questo è anche il rapporto tra le n-sfere ad essi circoscritte.
 
 Ma siccome la n-sfera più piccola tocca tutte le facce del simplesso più grande (perchè passa per i loro baricentri), e siccome la n-sfera inscritta in un simplesso è la più piccola tra quelle che toccano tutte le sue facce, ne segue che il rapporto cercato tra R e r è >= n.
 
 Ma poichè, esaminando la costruzione con il simplesso regolare di dimensione n, si vede che i baricentri delle facce coincidono proprio con i punti di tangenza della n-sfera inscritta, allora vale min(R/r) = n.[addsig]

wow!...stupefacente
 
 Anti, potresti dare un\'idea di come si dimostrano \"per induzione\" i teoremi che hai utilizzato?
 
 qualcuno ha links, dispense,... su questi argomenti [geometria \"euclidea\" in Rn] (che non siano il solito Wolfram) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 09-03-2004 20:20 ]

Bella, Mind!
 Pensare che per il caso n=3 avevo utilizzato il determinante di
 Cayley-Menger e una VALANGA di conti.. ultimamente ho la
 tendenza a complicare i problemi più del dovuto..

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-09 21:10, J4Ck202 wrote:
 Bella, Mind!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Bella, Conti, dico io.

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-09 20:18, talpuz wrote:
 Anti, potresti dare un\'idea di come si dimostrano \"per induzione\" i teoremi che hai utilizzato?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Sì, anche se l\'idea migliore che ti possa dare è \"provaci da solo!\". Per le dispense o link su geometria iper-euclidea non so cosa dirti, anche a me interesserebbero!
 
 Allora, il teorema è quello della mediana generalizzato, e la sensatezza della definizione di baricentro che ho dato segue logicamente dal teorema.
 Un n-simplesso ha n+1 vertici e n+1 facce. Ogni vertice fa parte di n facce a forma di (n-1)-simplesso. La faccia rimanente si dice opposta a quel vertice. Ogni coppia di vertici è collegata da uno spigolo, ed ogni coppia di facce ha in comune un (n-2)-simplesso. Inoltre, per ogni coppia di facce esiste uno ed un solo spigolo dell\'n-simplesso che non appartiene alla loro unione: tale spigolo è detto opposto alla coppia di facce. Ogni vertice dello spigolo opposto a 2 facce è opposto ad una delle 2 facce. Tutte queste cose si dimostrano facilmente in modo combinatorio, considerando che gli elementi k-dimensionali di un n-simplesso sono C(n+1,k+1).
 Consideriamo 2 facce dell\'n-simplesso, ed i rispettivi baricentri A e B. Siano inoltre C e D i vertici opposti alle facce che contengono rispettivamente A e B. Siccome per ipotesi induttiva i segmenti DA e CB si incontrano nel baricentro E della faccia (n-2)-simpliciale comune alle 2 facce considerate, ne segue che A, B, C, D, E sono sullo stesso piano. Ma poichè, per ipotesi induttiva, DA/AE = CB/BE = n-1, per Talete e per similitudini varie, il punto d\'incontro F di AC e BD è tale che CF/CA = DF/FB = n.
 Questo dimostra nel contempo il teorema della mediana, ed il fatto che la definizione data di baricentro sia una buona definizione. Infatti, se ogni coppia di \"mediane\" si incontra in un punto che divide ognuna di esse in segmenti con rapporto 1:n, significa che tutte si incontrano nello stesso punto.
 
 
 EDIT: avevo scritto C(n,k) anzichè C(n+1,k+1).
 
 <IMG SRC="http://images.google.it/images?q=tbn:3g ... onspir.jpg"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 11-03-2004 02:09 ]

Geometria euclidea in R_n è un bellissimo ossimoro...
 
 cmq, dispense online non ne conosco, ma se qlc ha voglia di buttarci un po\' di soldi o un po\' di tempo c\'è \"Regular Polytopes\" di Coxeter che è certo un buon inizio di geometria in n dimensioni...ne ho viste solo alcune parti, ma a sentire in giro è veramente figo...credo però che costi averlo...
 sennò, WOLFRAM!!!!

qualcosina, ma proprio qualcosina, si trova nella soluzione del problema 15 del giornalino numero 1.
 
 il senso dell\'indicazione sta nel fatto che non e\' difficile generalizzare il risultato al caso Rn.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 11-03-2004 11:09 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-11 00:17, EvaristeG wrote:
 Geometria euclidea in R_n è un bellissimo ossimoro...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 peto veniam come direbbe il nostro amico Leonard, non trovavo altre parole per farmi capire
 
 comunque le virgolette non erano messe a caso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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