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vorrei conoscere con qualche esempio l'applicazione di questo teorema e se ci sono delle analogie con i resti dell'operazione di divisione dato

che viene usato il concetto di residuo. Non è evidente il collegamento con i numeri primi ( sempre che ci sia un legame residuo-resto) dato che

ogni numero primo dà come resto un intero se diviso per tutti i suoi divisori?

1.1 Per quanto riguarda i residui, no, quello che viene usato nel metodo del cerchio classico è il Teorema dei residui di Cauchy. Ma questi sono i residui nella teoria delle funzioni analitiche, non i residui nella teoria dell'aritmetica modulare. In comune hanno solo il nome, ma sono cose diverse (ogni collegamento che si può fare è un artificio), non c'entrano davvero qualcosa uno con l'altro.

1.2 Nella teoria del metodo del cerchio contemporanea (diciamo, da dopo Vinogradov) in realtà non si usa quasi neanche più il teorema dei residui perché si usano altri tipi di integrali, più facili da maneggiare anche se esprimono qualcosa di simile

2.1 Il metodo del cerchio in teoria può essere utilizzato per calcolare il numero di soluzioni di molti tipi di problemi aritmetici, non solo numeri primi. Ecco come mai il collegamento con i numeri primi non è evidente.

2.2 Un esempio di problema classico risolvibile con il metodo del cerchio: il problema di Waring (cercalo su Wikipedia)

2.3 Se sei ancora interessato posso fare una piccola presentazione con qualche esempio, però non lo faccio qui in Problem solving olimpico, preferisco farlo nella sezione del forum dedicata alla "matematica non elementare"

come hai scritto al punto 2.3 potresti farmi qualche esempio sui numeri primi trovati con il teorema dei residui applicato al metodo del cerchio?