Tratto dalle USAMO 27 aprile 1999.
<BR>
<BR>Siano a1, a2, ..., an (n>3) numeri reali tali che:
<BR>
<BR>a1+a2+...+an>=n
<BR>
<BR>e
<BR>
<BR>a1^2+a2^2+...+an^2>=n^2.
<BR>
<BR>Provare che max(a1, a2, ..., an)>=2.
<BR>
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR>sprmnt21
<BR>
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<BR>
<BR>
Il minimo del massimo
Moderatore: tutor
Hard problem...
<BR>
<BR>Dimostriamo la tesi per induzione
<BR>NOTA: dopo il segno \">\" l\'uguale è sempre sottinteso
<BR>
<BR>1) n=4. Da x1²+x2²+x3²+x4²>16 abbiamo che, per un dato i, xi²>4 da cui |xi|>2. Ora, se xi>0 la tesi è provata, se xi<0 avremo (suppponendo i=1) che x2+x3+x4>4-xi>6 da cui si deduce che almeno uno dei tre termini deve essere maggiore di 2.
<BR>
<BR>2) Supponiamo che se x1+...+xn>n e x1²+...+xn²>n² si ha che esiste un termine maggiore di 2.
<BR>Proviamo la tesi nel caso di n+1 termini.
<BR>In x1+...+x_(n+1)>n+1 supponiamo che x1 sia il termine massimo: potremo pertanto scrivere x1=1+a, con a>0 . A questo punto abbiamo due casi:
<BR>
<BR>(a) non esistono altri termini maggiori di 1. Allora abbiamo che x2+...+x_(n+1)>n-a, da cui abbiamo che esiste un termine, poniamo x2, del tipo 1-b con
<BR>0 < b < a.
<BR>(b) esiste almeno un altro termine maggiore di 1, poniamo x2, che potremo allora scrivere come 1+b
<BR>(0 < b < a).
<BR>Trattiamo ora solo il caso a), essendo il caso b) un po\' più semplice, anche se sostanzialmente analogo.
<BR>
<BR>Possiamo riscrivere la somma x1+x2+...+x_(n+1)>n+1 come
<BR>(1+a)+(1-b)+...+x_(n+1)>n+1. Abbiamo anche
<BR>(1+a)²+(1-b)²+...+[x_(n+1)]²>(n+1)²
<BR>
<BR>Ma allora (ricordando che
<BR>(1+a-b)²=(1+a)²+(1-b)²-1-2ab) raggruppando i termini (1+a) e (1-b)
<BR>(1+a-b)+...+x_(n+1)>n
<BR>(1+a-b)²+...+[x_(n+1)]²>(n+1)²-1-2ab=n²+2n-2ab.
<BR>
<BR>Abbiamo così creato una serie di n termini a cui possiamo applicare l\'ipotesi induttiva.
<BR>Se 2ab>2n allora ab>n e, ricordando che a>b,
<BR> a>sqrt(n)>2 e dunque il termine (1+a) della nostra serie di partenza è maggiore di 2 e la tesi è provata.
<BR>
<BR>Se 2ab<2n allora (1+a-b)²+...+[x_(n+1)]²>n² e per ipotesi induttiva nella serie termini vi sarà un termine maggiore di 2.
<BR>Se tale termine è 1+a-b abbiamo che a-b>1 ovvero a>1 e dunque il termine x1=(1+a) della nostra serie di partenza di n+1 termini è maggiore di 2.
<BR>Se il termine maggiore è diverso da 1+a-b allora esso appartiene anche alla serie di partenza di n+1 termini, e la tesi è ugualmente provata.
<BR>
<BR>Goodbye
<BR><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2002-01-24 18:36 ]</font>
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<BR>Dimostriamo la tesi per induzione
<BR>NOTA: dopo il segno \">\" l\'uguale è sempre sottinteso
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<BR>1) n=4. Da x1²+x2²+x3²+x4²>16 abbiamo che, per un dato i, xi²>4 da cui |xi|>2. Ora, se xi>0 la tesi è provata, se xi<0 avremo (suppponendo i=1) che x2+x3+x4>4-xi>6 da cui si deduce che almeno uno dei tre termini deve essere maggiore di 2.
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<BR>2) Supponiamo che se x1+...+xn>n e x1²+...+xn²>n² si ha che esiste un termine maggiore di 2.
<BR>Proviamo la tesi nel caso di n+1 termini.
<BR>In x1+...+x_(n+1)>n+1 supponiamo che x1 sia il termine massimo: potremo pertanto scrivere x1=1+a, con a>0 . A questo punto abbiamo due casi:
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<BR>(a) non esistono altri termini maggiori di 1. Allora abbiamo che x2+...+x_(n+1)>n-a, da cui abbiamo che esiste un termine, poniamo x2, del tipo 1-b con
<BR>0 < b < a.
<BR>(b) esiste almeno un altro termine maggiore di 1, poniamo x2, che potremo allora scrivere come 1+b
<BR>(0 < b < a).
<BR>Trattiamo ora solo il caso a), essendo il caso b) un po\' più semplice, anche se sostanzialmente analogo.
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<BR>Possiamo riscrivere la somma x1+x2+...+x_(n+1)>n+1 come
<BR>(1+a)+(1-b)+...+x_(n+1)>n+1. Abbiamo anche
<BR>(1+a)²+(1-b)²+...+[x_(n+1)]²>(n+1)²
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<BR>Ma allora (ricordando che
<BR>(1+a-b)²=(1+a)²+(1-b)²-1-2ab) raggruppando i termini (1+a) e (1-b)
<BR>(1+a-b)+...+x_(n+1)>n
<BR>(1+a-b)²+...+[x_(n+1)]²>(n+1)²-1-2ab=n²+2n-2ab.
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<BR>Abbiamo così creato una serie di n termini a cui possiamo applicare l\'ipotesi induttiva.
<BR>Se 2ab>2n allora ab>n e, ricordando che a>b,
<BR> a>sqrt(n)>2 e dunque il termine (1+a) della nostra serie di partenza è maggiore di 2 e la tesi è provata.
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<BR>Se 2ab<2n allora (1+a-b)²+...+[x_(n+1)]²>n² e per ipotesi induttiva nella serie termini vi sarà un termine maggiore di 2.
<BR>Se tale termine è 1+a-b abbiamo che a-b>1 ovvero a>1 e dunque il termine x1=(1+a) della nostra serie di partenza di n+1 termini è maggiore di 2.
<BR>Se il termine maggiore è diverso da 1+a-b allora esso appartiene anche alla serie di partenza di n+1 termini, e la tesi è ugualmente provata.
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<BR>Goodbye
<BR><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2002-01-24 18:36 ]</font>
Mi sono accorto che il caso (b) del secondo passo induttivo presenta difficoltà impreviste.
<BR>Perciò occorre rivedere un po\' la soluzione, pur rimanendo l\'impianto sostanzialmente lo stesso.
<BR>Giunti al secondo passo induttivo distinguiamo tre casi:
<BR>1- tutti i termini della serie sono positivi => tesi ovvia, la media aritmetica dei quadrati è n+1.
<BR>2- vi è un solo termine negativo=> tesi, perchè se tutti i termini positivi fossero minori di 2, la somma dei loro quadrati sarebbe minore di 4n, da cui si ha immediatamente un assurdo.
<BR>3- Vi sono almeno due termini negativi (1-a) e (1-b). Allora costruendo il termine (1-a-b) e riportando la serie di n+1 termini ad una di n termini si ha la tesi. Per i calcoli realtivi riferirsi tranquillamente a quelli svolti nella dimostrazione di cui sopra
<BR>
<BR>Sprmnt, la tua dimostrazione senza induzione mi interessa molto: per favore, postala.
<BR>[sfrutti forse la disuguaglianza tra media quadratica e aritemetica?]
<BR>
<BR>Ciao
<BR>Perciò occorre rivedere un po\' la soluzione, pur rimanendo l\'impianto sostanzialmente lo stesso.
<BR>Giunti al secondo passo induttivo distinguiamo tre casi:
<BR>1- tutti i termini della serie sono positivi => tesi ovvia, la media aritmetica dei quadrati è n+1.
<BR>2- vi è un solo termine negativo=> tesi, perchè se tutti i termini positivi fossero minori di 2, la somma dei loro quadrati sarebbe minore di 4n, da cui si ha immediatamente un assurdo.
<BR>3- Vi sono almeno due termini negativi (1-a) e (1-b). Allora costruendo il termine (1-a-b) e riportando la serie di n+1 termini ad una di n termini si ha la tesi. Per i calcoli realtivi riferirsi tranquillamente a quelli svolti nella dimostrazione di cui sopra
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<BR>Sprmnt, la tua dimostrazione senza induzione mi interessa molto: per favore, postala.
<BR>[sfrutti forse la disuguaglianza tra media quadratica e aritemetica?]
<BR>
<BR>Ciao
Per LordGauss.
<BR>Preferisco non postare ancora la mia idea qui nel forum. Se vuoi posso mandarla a te. Se mi scrivi (anche nella ML tutor2000) per ricordarmi il tuo indirizzo, te la mando e la controlli.
<BR>Per jack202.
<BR>Non lo so se centra il risultato che ricordi tu. Io non l\'ho usato. Come pure non ho usato alcun risultato importante delle disuguaglianze fra medie.
<BR>A parte questo, se non ricordo male la relazione che hai indicato vale per numeri positivi. Mentre nel nostro problema abbiamo a che fare con numeri possibilmente anche negativi. Quindi non saprei (così ... al volo) come applicare questo fatto che dici al caso in questione.
<BR>
<BR>ciao
<BR>
<BR>sprmnt21
<BR>
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<BR>Preferisco non postare ancora la mia idea qui nel forum. Se vuoi posso mandarla a te. Se mi scrivi (anche nella ML tutor2000) per ricordarmi il tuo indirizzo, te la mando e la controlli.
<BR>Per jack202.
<BR>Non lo so se centra il risultato che ricordi tu. Io non l\'ho usato. Come pure non ho usato alcun risultato importante delle disuguaglianze fra medie.
<BR>A parte questo, se non ricordo male la relazione che hai indicato vale per numeri positivi. Mentre nel nostro problema abbiamo a che fare con numeri possibilmente anche negativi. Quindi non saprei (così ... al volo) come applicare questo fatto che dici al caso in questione.
<BR>
<BR>ciao
<BR>
<BR>sprmnt21
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