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Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 20 ago 2020, 20:01
da elio02
preso dagli esercizi di autovalutazione della normale
Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 21 ago 2020, 10:49
da Mattysal
Mi sa che l'ho bucato, però questa è la prima soluzione che mi viene in mente.
Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 21 ago 2020, 11:39
da Luca Milanese
Propongo una soluzione "fisica".
Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 21 ago 2020, 13:04
da FrancescoVeneziano
Ricordate sempre di leggere con attenzione il testo. Senza l'ipotesi che l'origine si trovi nel centro del poligono, l'enunciato è falso. Elio02 ha probabilmente ricopiato il testo in modo impreciso e voi avete risposto alla domanda originale.
Alla soluzione di Mattysal manca qualcosa; ci sono tanti n-agoni regolari diversi che hanno centro nell'origine e differiscono per dilatazioni e rotazioni, e va precisato (o almeno menzionato) perché basta considerare solo quello formato dalle radici di $ x^n-1 $.
L'argomentazione di Luca è un po' circolare. L'affermazione "Poichè il poligono è regolare, il baricentro di questo sistema si trova al centro del poligono, cioè nell'origine." è sostanzialmente equivalente alla tesi, e deve essere motivata. A volte non è ben chiaro cosa si possa dare per buono in una soluzione e cosa no, ma una buona regola a spanne e che enunciati dai quali la tesi discende immediatamente non si possono dare per buoni.
Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 21 ago 2020, 13:24
da Luca Milanese
Essendo necessaria l'ipotesi che il centro del poligono coincida con l'origine, e poichè in un poligono regolare circocentro, baricentro, incentro ecc... coincidono, ho pensato di poter dare per scontato questo fatto. Altrimenti, bisognerebbe specificare in quale centro del poligono sappiamo essere posta l'origine, e il problema diventa quindi dimostrare che il baricentro coincide col centro dell'ipotesi. Mi sbaglio?
Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 21 ago 2020, 13:40
da FrancescoVeneziano
Luca Milanese ha scritto: ↑21 ago 2020, 13:24e poichè in un poligono regolare circocentro, baricentro, incentro ecc... coincidono
E questo è precisamente il punto dell'esercizio. Dimostrare che il centro geometrico (definiamolo pure come il centro della circonferenza circoscritta) coincide col baricentro (definiamolo come la media dei vertici visti come vettori nel piano). Nota anzi come questa affermazione sia piú forte della tesi dell'esercizio, che ne è un caso particolare quando il centro è nell'origine.
Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 21 ago 2020, 14:40
da Mattysal
FrancescoVeneziano ha scritto: ↑21 ago 2020, 13:04
Alla soluzione di Mattysal manca qualcosa; ci sono tanti n-agoni regolari diversi che hanno centro nell'origine e differiscono per dilatazioni e rotazioni, e va precisato (o almeno menzionato) perché basta considerare solo quello formato dalle radici di $ x^n-1 $.
Chiaro
quindi bastava specificare quello, e basta, credo
Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.
Inviato: 29 ago 2020, 09:29
da emmeci
Alle soluzioni precedenti aggiungo "Per simmetria" e lo specifico meglio.
Se la somma non fosse zero, avrebbe una direzione rispetto ad un sistema di riferimento solidale col poligono. Detto n il numero dei lati, facendo ruotare il poligono attorno al centro di un ennesimo di angolo giro, questa direzione dovrebbe contemporaneamente cambiare (perché solidale col poligono) e restare invariata (perché il poligono non cambia), e questo è impossibile.