Problemi degli incontri olimpici

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fb02
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Problemi degli incontri olimpici

Messaggio da fb02 » 24 lug 2020, 17:47

Ecco alcuni problemi proposti negli incontri olimpici 2015 di Udine:
1) Sia $ n $ un numero naturale di $ 3 $ cifre. Si consideri $ n_0 $ il numero ottenuto da $ n $ eliminando le eventuali cifre uguali a $ 0 $. Determinare quanti $ n_0 $ dividono, non banalmente, $ n $.
2) Il numero $ n = 2^{30} + 3^{30} $ ha soltanto due fattori primi di due cifre. Determinarli.
3) Determinare la somma di tutti i numeri primi $ p $ e $ q $ tali che $ p^2 - p+1 = q^3 $.
Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi? Non so proprio da dove partire...

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dalferro11
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Re: Problemi degli incontri olimpici

Messaggio da dalferro11 » 24 lug 2020, 21:20

ciao, ti posso dire qualcosa sul numero 2 e come l'ho risolto...(non è una soluzione molto veloce..ma cercherò lo stesso di essere breve)
Il numero è nella forma 2^(4t+2)+ 3^(4t+2)
con t =0 abbiamo 2^2+3^2=13
con t=1 abbiamo 2^6+3^6= 793 = 13*61
da qui, anche se è un po' poco, potresti congetturare che tutti i numeri in quella forma siano divisibili per 13.
Se vai a risolvere la congruenza
2^(4t+2)+ 3^(4t+2)==0 (mod 13) vedrai che è così
quindi uno dei fattori è 13.
da qui hai due strade...la prima consiste nel notare che l'ultima cifra di n è 3 e quindi divisa per 13 ti da come ultima cifra 1. Quindi hai le coppie (1,1)
(3,7) (9,9) e provi i numeri primi fino a 97 che terminano con almeno tre di queste cifre.

Oppure visto che con t=1 il numero è divisibile per 61 congetturi come per il 13 e risolvi la congruenza.
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.

K. F. Gauss

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