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potreste spiegarmi come si dimostra che tutti i numeri interi sono divisibili in 10 classi in cui in ogni classe si trovano gli interi che terminano per

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. So che vengono usate le partizioni di un insieme di numeri.

scusate ho sbagliato , le partizioni non c'entrano niente , ma ci sono di mezzo le classi di resto

Detta così, è una definizione e non c'è molto da dimostrare: definiamo gli insiemi $S_k = \{\text{interi che terminano con la cifra $k$}\}$, per $k=0,1,\dots,9$. Visto che ogni intero termina per forza con una (e una sola) cifra tra 0 e 9, ogni intero finisce in uno e uno solo di questi 10 insiemi, che quindi partizionano $\mathbb{N}$.

Probabilmente tu vuoi sapere qualcosa sulle proprietà di questi insiemi (ad esempio: dato un intero positivo in $a \in S_3$ e un intero positivo in $b \in S_4$, il loro prodotto $ab$ sta sempre in $S_2$); questa è la teoria delle congruenze. Trovi spiegate alcune loro proprietà nelle lezioni di teoria dei numeri di matematica delle olimpiadi: per esempio, prendi una delle risorse base su viewtopic.php?f=26&t=3489 , e cerca la parte di teoria dei numeri (tdn).

Se vuoi qualcosa di un po' più formale, ti conviene cercare gli appunti (o un libro) di un corso universitario di aritmetica o matematica discreta; per esempio dalla nostra università questo http://people.dm.unipi.it/%7Edvornic/md ... MD2019.pdf .