Da Febbraio alle EGMO

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Mattysal
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Da Febbraio alle EGMO

Messaggio da Mattysal » 03 lug 2020, 00:51

Posto qui due problemi: uno di livello Febbraio e uno preso dalle EGMO di quest’anno.
L’intenzione è quella di aiutare e incoraggiare coloro che vogliono migliorare in G a risolvere un problema internazionale, perché vi dirò, dopo aver risolto il Problema 1 di questo topic, il problema delle EGMO mi è sembrato molto fattibile, le due configurazioni dei problemi sono infatti abbastanza simili.

Problema 1 (Olimpiadi Austriache, Anno Boh)
Data una circonferenza di centro $O$ e raggio $r$ tracciamo una corda $AB>r$ e su di essa prendiamo $S$ in modo che $AS=r$. L’asse di $BS$ interseca nuovamente tale circonferenza in $C, D$ mentre $DS$ interseca nuovamente la circonferenza in $E$.
Dimostrare che il triangolo $CSE$ è equilatero.

Problema 2 (EGMO 2020/5)
Sia $ABC$ un triangolo con $\widehat{BCA} > 90^{\circ}$. La circonferenza $\Gamma$ circoscritta ha raggio $R$. Esiste un punto $P$ sul segmento $AB$ tale che $AP=R$ e $PB=PC$. L’asse di $PB$ interseca $\Gamma$ in $D,E$.
Dimostrare che $P$ è incentro di $CDE$.

ricarlos
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Re: Da Febbraio alle EGMO

Messaggio da ricarlos » 01 ago 2020, 03:09

Mattysal ha scritto:
03 lug 2020, 00:51
Problema 2 (EGMO 2020/5)
Sia $ABC$ un triangolo con $\widehat{BCA} > 90^{\circ}$. La circonferenza $\Gamma$ circoscritta ha raggio $R$. Esiste un punto $P$ sul segmento $AB$ tale che $AP=R$ e $PB=PC$. L’asse di $PB$ interseca $\Gamma$ in $D,E$.
Dimostrare che $P$ è incentro di $CDE$.
Testo nascosto:
Siano $O$ il centro da $\Gamma$ e $A'=CP\cap \Gamma$. Quindi $ A'P =AP = R$ (perché $ PB = PC $).
Siano $ M $ e $ N $ i punti medi di $ BC $ e $ OP $, rispettivamente.
$ M, P, N $ e $ O $ appartengono alla bisettrice perpendicolare di $BC$.
$\Delta BMP\sim \Delta A'NP\sim \Delta A'NO\rightarrow BP\parallel A'O$.
La bisettrice perpendicolare di $BC$ (OM) è la bisettrice di $\angle BOC $
$\angle BOC = 2\angle BA'C$.
Quindi $\angle BA'C =\angle BA'P =\angle BOP \rightarrow A'OPB$ è un trapezio isoscele.
Quindi la bisettrice perpendicolare di $PB$ è anche la bisettrice perpendicolare di $A'O$.
$A'D=OD=R \rightarrow A'OD$ è un equilatero.
$A'E=OE=R \rightarrow A'OE$ è un equilatero.
$\angle DCA' = \angle ECA' = 30 \rightarrow CP$ è la bisettrice di $\angle DCE$ .....(1)
$A'D = A'E = A'P$ .....(2)
Con (1) + (2) concludiamo che $ P $ è l'incentro di $DCE$.
EGMO.gif
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Per capire (2): http://www.gogeometry.com/problem/p741- ... ruence.htm

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