Dubbi aritmetica modulare

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mathlover
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Dubbi aritmetica modulare

Messaggio da mathlover » 01 lug 2020, 22:39

Salve a tutta la community, sto studiando l'aritmetica modulare e ho riscontrato delle difficoltà con le classi di congruenza.
In un esempio si determinava la classe di congruenza mod 7 di 9^3+17^4-27^2........
Il mio dubbio e' se la proposizione precedente equivale a dire che determinare la classe di congruenza (mod n) di k, equivale a dire che k e' congruo a ogni elemento della classe di equivalenza (mod 7)?
PS: mi sto preparando per le olimpiadi...
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fph
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Re: Dubbi aritmetica modulare

Messaggio da fph » 02 lug 2020, 08:11

Sì, "determinare la classe di congruenza mod 7" vuol dire "determinare in quale delle sette classi di equivalenza sta". Puoi pensarla come se fosse una domanda a crocette con sette alternative: (a) è congruo a 0 (e quindi a 7, 14, 21, ...) (b) è congruo a 1 (e quindi a 8, 15, 22 ...) ... (g) è congruo a 6 (e quindi a 13, 20, 27 ... ).
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mathlover
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Re: Dubbi aritmetica modulare

Messaggio da mathlover » 02 lug 2020, 15:52

Grazie infinite per aver risposto, ho trovato un altro problemino...l'es e' un esempio: 'determinare le classi di equivalenza mod 7 del numero 9^3+17^4-27^2+2*33^10'
prosegue riducendo mod 7 le basi delle potenze (why?) per poi calcolare queste ultime. Quindi 9≡2 mod (7), 17≡3
(mod 7), 27≡6 (mod 6) e 33≡5 (mod 7).Prosegue con N=9^3+17^4-27^2+2*33^10≡2^3+17^4-6^2+2*5^10 (mod 7) (credo si e' usata una delle proprietà dell'uguaglianza "a^k≡b^k (mod 7).
Poi semplifica ancora le basi con 2^3=8≡1 (mod 7), 3^4=3^2^2=9^2≡2^2≡4 (mod 7), (come ha a trovare il termine b con numeri cosi' grandi????)...continua ad semplificare fino a giungere a 5^5^2≡4^5≡16^2*4≡2^2*4≡16≡2 (mod 7) (quindi ha scomposto 5^10 in 5^5^2 ed e' congruo a 4^5 (perche'????????)......
Poi termina con 2^3+3^4-6^2+2+5^10≡1+4-1+2*2≡8≡1 (mod 7), di conseguenza N appartiene alla classe di congruenza di 1 mod 7.
Tralasciando i miei dubbi riguardo l'es sopra, in pratica per determina la classe di equivalenza di N bisogna calcolare la classe di equivalenza di ogni termine termine e sommarli (in questo caso e' 8 e perche' sommarli???) e calcolarci il termine b (in questo caso 1, come ha fatto a calcolare il termine b con numeri grandi???), quindi 8≡1 mod 7....quanta confusione :(
grazie comunque

fph
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Re: Dubbi aritmetica modulare

Messaggio da fph » 03 lug 2020, 07:53

Hai visto un po' di teoria con le proprietà delle congruenze? Sta solo applicando tante volte proprietà che dovresti aver studiato come $a \equiv A$, $b \equiv B$ $\implies$ $ab \equiv AB$, $a+b \equiv A+B$.
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Re: Dubbi aritmetica modulare

Messaggio da mathlover » 05 lug 2020, 19:42

ah grazieee

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