Cambiamento di base per numeri decimali.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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dodo3
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Cambiamento di base per numeri decimali.

Messaggio da dodo3 » 30 mar 2020, 17:48

Dalle Gare a squadre della Sapienza (2017), quesito n.10
Un numero decimale finito, se convertito in un’altra base, pu`o scriversi ancora con un numero finito di cifre dopo la virgola o diventare periodico. Sapreste dire in quali basi b (con b tra 2 e 9) il numero 0,375 si scrive con un numero finito di cifre?
Dopo aver risolto l'esercizio usando le risposte possibili, ho letto la soluzione proposte e non mi è chiara la spiegazione di carattere generale che viene fornita.
Soluzione:
Testo nascosto:
2, 4, 6, 8
Il numero `e 3/8 e ha espansione finita in ogni base b tale che bn sia multiplo di 8 per qualche n > 0, cio`e in ogni base pari. Infatti, l’espansione di un numero in base b `e finita se e solo se esistono numeri interi x1, ..., xn tra 0 e b − 1 compresi tali che 3/8 = x1/b + x2/b2 + ... + xn/bn. Ci`o `e equivalente a 3bn = 8(xn + xn−1b + ... + xnbn−1) e dunque 8 divide bn. Viceversa, se 8 divide bn, allora scriviamo 3bn/8 come 3bn/8 = y0 + y1b + ... + ymbm, per opportuni interi y0, . . ., ym tra 0 e b − 1; allora 3/8 = ym/bn−m + ym−1/bn−m+1 + . . . + y0/bn, quindi 3/8 ha espansione finita in base b. Ad esempio, in base 6, il numero si scrive 0,2136.
(i numeri dopo le b sono esponenti, quelli dopo le x e le y indici)

fph
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Re: Cambiamento di base per numeri decimali.

Messaggio da fph » 30 mar 2020, 18:57

Cos'è che non ti è chiaro esattamente di quella spiegazione? A quale frase comincia a non tornarti?
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dodo3
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Re: Cambiamento di base per numeri decimali.

Messaggio da dodo3 » 05 apr 2020, 18:31

La parte in cui scrive le basi al denominatore: 3/8= x1/b+...
e poi quella in cui passa dal dire che 3=8(xn+....) a dire che 8 divide b^n.

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Re: Cambiamento di base per numeri decimali.

Messaggio da fph » 05 apr 2020, 19:11

$3/8 = x_1/b + x_2/b^2 + ... + x_n/b^n$ è una scrittura generica di un numero (minore di 1) in base $b$; gli $x_i$ sono le cifre; ti torna? Per esempio $0.953$ vuol dire $9/10+5/10^2+3/10^3$.
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Re: Cambiamento di base per numeri decimali.

Messaggio da fph » 05 apr 2020, 19:16

Poi una volta levati i denominatori hai un'uguaglianza del tipo $3b^n = 8(\text{numero intero})$, e da questa segue che $3b^n$ è multiplo di 8, quindi...
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Re: Cambiamento di base per numeri decimali.

Messaggio da dodo3 » 15 apr 2020, 20:12

Tutto chiaro, grazie mille!

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