Disequazione di Schwartz

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Rufy
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Disequazione di Schwartz

Messaggio da Rufy » 16 gen 2020, 18:32

Ciao a tutti, ho un problema nel capire una dimostrazione e magari può essere un esercizio, nel dubbio inserisco nei problemi di algebra.

Dati $a_1,..., a_n$ e $b_1,...,b_n$ complessi

Ho che $|\sum a_j b_j^* |^2 =< \sum|a_j|^2 \sum|b_j|^2$.

$b_j^*$ é il coniugato di $b_j$

Pongo $A = \sum|a_j|^2$ ; $B = \sum|b_j|^2$ ; $C = \sum a_j b_j^*$

Per dimostrarlo ho questa equazione:

$\sum|Ba_j - Cb_j|^2 = B(AB - |C|^2)$

Quello che mi chiedo è come posso ottenere il LHS di questa uguaglianza (l'uguaglianza é vera non ho voluto inserire i passaggi intermedi perché non mi interessano)
Ultima modifica di Rufy il 17 gen 2020, 08:59, modificato 1 volta in totale.

emilio
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Re: Disequazioni di Schwartz

Messaggio da emilio » 16 gen 2020, 20:43

Se stai chiedendo come passare dall' ultima uguaglianza che hai scritto a Cauchy-Schwarz, allora basta osservare che $\sum | Ba_j-Cb_j |^2 \geq 0$ (è la somma di quadrati di moduli di numeri complessi) e quindi $B(AB-|C|^2) \geq 0$. Ma $B\geq 0$, perché somma di quadrati di moduli. Quindi il termine che è moltiplicato per $B$ deve essere $\geq 0$, altrimenti il prodotto sarebbe $\leq 0$. Quindi $AB−|C|^2 \geq 0 \Leftrightarrow AB \geq |C|^2 \Leftrightarrow \sum |a|^2 \sum |b|^2 \geq |\sum ab^*|^2$. Spero di non aver sbagliato nulla

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Rufy
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Re: Disequazioni di Schwartz

Messaggio da Rufy » 16 gen 2020, 20:46

no, sto chiedendo come ricavare $\sum|Ba_j - Cb_j|^2$

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Rufy
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Re: Disequazione di Schwartz

Messaggio da Rufy » 17 gen 2020, 13:10

In effetti mi sono accorto di essere molto scemo, inserisco i valori intermedi sotto spoiler (così può rimanere un esercizio da fare) e da essi andando a ritroso si ottiene il LHS.
Testo nascosto:
$\sum|Ba_j - Cb_j |^2 = \sum(Ba_j - Cb_j) \sum(Ba_j^* - C^*b_j^*) = B^2 \sum|a_j|^2 - BC^*\sum a_jb_j^* - BC\sum a_j^*b_j + |C|^2 \sum|b_j|^2 = B^2 A - B|C^2 | = B(AB - |C^2 |) $
Però mi chiedo come mai l'autore del mio libro non sia partito da $B(AB - |C^2 |) $, la leggevo e rileggevo e mi chiedevo, come posso ottenere $\sum|Ba_j - Cb_j|^2$ proprio perché l'autore del mio libro parte da lì.

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