Exinscritta e tangenti

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Carlo42
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Exinscritta e tangenti

Messaggio da Carlo42 » 27 ago 2019, 10:46

In un triangolo [math] sia [math] l'ex-cerchio opposto al vertice [math] e siano [math] i punti di tangenza di [math] con le rette [math] rispettivamente. La circonferenza [math] interseca la retta [math] nei punti [math] e [math]. Sia [math] il punto medio di [math]. Dimostrare che la circonferenza [math] tange [math].

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Pit
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Re: Exinscritta e tangenti

Messaggio da Pit » 27 ago 2019, 18:09

Una soluzione un po' contosa.
Testo nascosto:
Siano $O$ il circocentro di $AFE$, $I$ l'excentro opposto ad $A$ e $t$ la lunghezza della tangente a $\omega$ passante per $M$.
Dato che $AFI=\pi/2$, $O$ è il punto medio di $AI\Rightarrow MO\parallel DI\Rightarrow MO\bot PQ\Rightarrow M$ sta sull'asse di $PQ\Rightarrow PM=QM$.
Per la formula della mediana su $APD$ e $AID$ e per il teorema di PITagora su $API$ e su $PDI$, otteniamo $$4PM^2=2AP^2+2PD^2-AD^2$$ $$4MI^2=2DI^2+2AI^2-AD^2$$ $$PI^2=PD^2+DI^2$$ e $$AI^2=AP^2+PI^2$$ Da queste otteniamo $$4PM^2+4DI^2-4MI^2=(2AP^2+2PD^2-AD^2)+4DI^2-(2DI^2+2AI^2-AD^2)=$$$$=2(AP^2+PD^2+DI^2-AI^2)=2(AP^2+PI^2-AI^2)=0$$ e quindi $PM^2=MI^2-DI^2$. Il membro di destra è la potenza di $M$ rispetto a $\omega\Rightarrow t=PM=QM$.
Per ogni punto $X$ sia $\omega_X$ la circonferenza con centro $X$ e raggio 0.
Si ha $$PM\times DQ+QM\times PD=t\times (DQ+PD)=t\times PQ$$ e quindi per il teorema di Casey esiste una circonferenza tangente a $\omega_M,\omega_P,\omega_Q$ e $\omega\Rightarrow$ la circoscritta a $MPQ$ è tangente a $\omega$.
Nessuno :?:

Davide Di Vora
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Re: Exinscritta e tangenti

Messaggio da Davide Di Vora » 30 ago 2019, 20:53

Siano $I_a$ l'ex-centro opposto al vertice $A$, $X$ la seconda intersezione di $AD$ con $\omega$, $N$ il punto medio di $DX$ e $T\equiv BC\cap EF$.
Visto che $I_aN \perp DX$, i punti $A$, $E$, $F$, $I_a$ e $N$ si trovano sulla circonferenza di diametro $AI_a$. Quindi
$$PD \cdot QD=2DM\cdot DN=DM \cdot DX$$
quindi il quadrilatero $MPXQ$ è ciclico.
Noto che $T$ si trova sulla polare di $A$ rispetto a $\omega$ e quindi $AD$ è la polare di $T$ rispetto a $\omega$ e quindi $TX$ tange $\omega$. Inoltre noto che $T$ è il centro radicale tra $(AEF)$, $(MPXQ)$ e $\omega$ e quindi $TX$ tange anche $(MPXQ)$ e questo dimostra la tesi.

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