Scuola Superiore Sant'Anna 1
Inviato: 23 ago 2019, 14:02
Tra qualche giorno parteciperò alla prova scritta per l'ammissione alla Scuola Superiore Sant'Anna. Ho avuto problemi nella formalizzazione e nello svolgimento dei tre problemi sottostanti. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
ESERCIZIO 1)
Sia x(t) il valore in euro di un investimento al periodo t. In ogni periodo il valore
diminuito di 50 euro è pari alla metà del valore del periodo precedente.
a) Scrivere l’equazione che esprime il valore investito in t in funzione del valore
investito in t-1. Ipotizzando che il valore iniziale x(0)sia pari a 20 euro, si trovi il
valore dell’investimento al periodo t=3.
b) Scrivere l’equazione che esprime il valore investito in t in funzione del valore
iniziale x(0).
c) Calcolare il valore dell’investimento per t che tende all’infinito. (può essere utile
sapere che per ∈ (0,1) la somma infinita 1 + x + x^2 + x^3 + … ha valore
1/(1 − x)
d) Quanto si deve investire in t = 0 affinché la somma iniziale rimanga invariata nel
tempo?
ESERCIZIO 2)
Un’impresa produce due tipi di beni A e B i cui prezzi di vendita sono rispettivamente di
150 euro e 180 euro per ogni unità. Per produrre un’unità di bene A sono richiesti 15
minuti di utilizzo della macchina X, 35 minuti di utilizzo della macchina Y e 30 minuti di
lavoro-uomo. Per il bene B sono invece richiesti 55 minuti di utilizzo della macchina X, 45
minuti di utilizzo della macchina Y e 50 minuti di lavoro-uomo. La giornata lavorativa
dell’unico operaio presente in azienda, ed il tempo per cui può rimanere attiva ciascuna delle
2 macchine X e Y è di 8 ore. Dati i vincoli del problema, determinare le quantità dei beni A
e B (non necessariamente intere) che bisogna produrre al giorno per massimizzare il
profitto.
ESERCIZIO 3)
Sia f: R^2 --> R^2 la seguente funzione f(x1;x2)=(x1+x2;x1-3x2),
Verificare che per ogni coppia di punti (x1,x2) e (y1,y2) in R^2; e per ogni k in R si ha che:
a) f(x1+y1;x2+y2)=f(x1,x2)+f(y1,y2)
b) f(kx1,kx2)=kf(x1,x2)
ESERCIZIO 1)
Sia x(t) il valore in euro di un investimento al periodo t. In ogni periodo il valore
diminuito di 50 euro è pari alla metà del valore del periodo precedente.
a) Scrivere l’equazione che esprime il valore investito in t in funzione del valore
investito in t-1. Ipotizzando che il valore iniziale x(0)sia pari a 20 euro, si trovi il
valore dell’investimento al periodo t=3.
b) Scrivere l’equazione che esprime il valore investito in t in funzione del valore
iniziale x(0).
c) Calcolare il valore dell’investimento per t che tende all’infinito. (può essere utile
sapere che per ∈ (0,1) la somma infinita 1 + x + x^2 + x^3 + … ha valore
1/(1 − x)
d) Quanto si deve investire in t = 0 affinché la somma iniziale rimanga invariata nel
tempo?
ESERCIZIO 2)
Un’impresa produce due tipi di beni A e B i cui prezzi di vendita sono rispettivamente di
150 euro e 180 euro per ogni unità. Per produrre un’unità di bene A sono richiesti 15
minuti di utilizzo della macchina X, 35 minuti di utilizzo della macchina Y e 30 minuti di
lavoro-uomo. Per il bene B sono invece richiesti 55 minuti di utilizzo della macchina X, 45
minuti di utilizzo della macchina Y e 50 minuti di lavoro-uomo. La giornata lavorativa
dell’unico operaio presente in azienda, ed il tempo per cui può rimanere attiva ciascuna delle
2 macchine X e Y è di 8 ore. Dati i vincoli del problema, determinare le quantità dei beni A
e B (non necessariamente intere) che bisogna produrre al giorno per massimizzare il
profitto.
ESERCIZIO 3)
Sia f: R^2 --> R^2 la seguente funzione f(x1;x2)=(x1+x2;x1-3x2),
Verificare che per ogni coppia di punti (x1,x2) e (y1,y2) in R^2; e per ogni k in R si ha che:
a) f(x1+y1;x2+y2)=f(x1,x2)+f(y1,y2)
b) f(kx1,kx2)=kf(x1,x2)