Retta tangente e segmenti congruenti

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Carlo42
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Iscritto il: 23 gen 2019, 22:17

Retta tangente e segmenti congruenti

Messaggio da Carlo42 » 06 ago 2019, 00:20

Sia [math] un triangolo con circocentro [math]. Siano [math] e [math] punti interni ai lati [math] e [math]
rispettivamente. Siano [math] e [math] i punti medi dei segmenti [math] e [math] rispettivamente, e sia [math]
la circonferenza passante per [math] e [math]. Supponiamo che la retta [math] sia tangente alla circonferenza
[math]. Dimostrare che [math].

Davide Di Vora
Messaggi: 18
Iscritto il: 25 mag 2016, 22:14

Re: Retta tangente e segmenti congruenti

Messaggio da Davide Di Vora » 11 ago 2019, 14:57

Noto che
$$\angle AQP=\angle QMK=\angle MLK$$
e
$$\angle APQ=\angle PML= \angle MKL$$
e quindi i triangoli $\triangle AQP$ e $\triangle MLK$ sono simili in questo ordine e dunque $AQ \cdot MK= AP \cdot ML$ e quindi
$$OP^2-R^2=AP \cdot PC=AQ \cdot QB=OQ^2-R^2$$
e questo dimostra la tesi.

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